期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 -【备战期中必刷真题】2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考福建专用）

期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 备考秘籍 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 5. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 真题训练 一、解答题 1．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点. (1)求直线与直线的所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 2．（2022秋·福建泉州·高二石狮市第一中学校考期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点. (1)用，，表示； (2)若底面是正方形，且，，求. 4．（2022秋·福建福州·高二校联考期中）如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若，解答下列问题： (1)以为基底表示； (2)若，，，求的值． 5．（2022秋·福建福州·高二校联考期中）如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点. (1)求证：平面； (2)若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离. 6．（2022秋·福建福州·高二校联考期中）已知直三棱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，. (1)证明：BF⊥DE； (2)当为何值时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大. 7．（2022秋·福建·高二统考期中）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点． (1)求证：平面PCD； (2)求PD与平面PMC所成角的正弦值． 8．（2022秋·福建·高二校联考期中）如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. (1)求证：⊥平面； (2)求二面角余弦值的大小； (3)求点到平面的距离． 9．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）如图．在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点M在线段上且满足．求直线CM与所成角的正弦值． 10．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AFDE，，DE⊥AD，AC⊥BE. (1)证明：平面ADEF⊥平面ABCD. (2)求平面ACE与平面ABF所成锐二面角的余弦值. 11．（2022秋·福建厦门·高二校考期中）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，为BC的中点，. (1)证明：平面ABCD； (2)若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角的余弦值. 12．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，,，设 (1)用表示，并求； (2)求AC1与BD所成角的大小. 13．（2022秋·福建泉州·高二晋江市第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 14．（2022秋·福建厦门·高二校考期中）如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体中各