专题17 难点探究专题：相似三角形中动点问题之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（北师大版）

专题17 难点探究专题：相似三角形中动点问题之六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 7 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 15 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 22 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 27 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】 34 【典型例题】 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：= ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间 【变式训练】 1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ． 2．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 3．（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ． (1)若△BPQ与相似，求t的值； (2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值； (3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值． 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在中，，，，动点D在边上，的垂直平分线交边于点E．若是直角三角形，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝ ． 3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 3．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 ． 4．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长． 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 例题：（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 . 【变式训练】 1．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．    2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ． 3．（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为 ．    【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 例题：（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（    ）    A．    B．  C．   D．   【变式训练】 1．（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，动点P从点B出发，在线段上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形的面积是（    ） A．20 B．24 C．48 D．60 2．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速