专题16 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（北师大版）

专题16 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型 【考点导航】 目录 【考点一 （双）A字型相似】 1 【考点二 （双）8字型相似】 7 【考点三 母子型相似】 16 【考点四 手拉手型相似】 21 【考点五 K字型相似】 26 【考点六 三角形内接矩形】 30 【典型例题】 【考点一 （双）A字型相似】 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例题：如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式训练】 1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023·云南昭通·校考三模）如图，在中，、分别是、上的点，且，，若的面积为1，则四边形的面积为 ．    3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．    (1)图中与△ADE是否相似？为什么？ (2)求信号发射塔的高度． 4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：． 5．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明． (2)，，求线段AC的长． 6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，． (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长比． 【考点二 （双）8字型相似】 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【变式训练】 1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，是的对角线，点在的延长线上，连接分别交，于点，，则下列式子一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 3．（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为 ．    4．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则 ．    5．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）如图，与交于点，，，求的度数．    6．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】 （1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；    【模型探索】 （2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：； 【模型应用】 （3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长． 【考点三 母子型相似】 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． (1)求证：△ABC∽△BDC． (2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 【变式训练】 1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，D是AB边上的点，，，则AC的长为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D． 2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：    (1)如图1，在中，是边上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，已知，，，求的度数． 4.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；