专题15 三角形相似的判定方法之四大考点-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（北师大版）

专题15 三角形相似的判定方法之四大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 两角对应相等，两个三角形相似】 1 【考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 5 【考点三 三边对应成比例，两个三角形相似】 8 【考点四 补充条件使两个三角形相似】 11 【过关检测】 13 【典型例题】 【考点一 两角对应相等，两个三角形相似】 例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【变式训练】 1．如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 3．如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：． 【考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 例题：如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF． 【变式训练】 1．如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求证：△ACD∽△ABC． 2．如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． (1)求AC的长； (2)若，求证：△ADE∽△ABC． 3．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC＝ °，BC＝　　　； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论． 【考点三 三边对应成比例，两个三角形相似】 例题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 【变式训练】 1．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，，，． 2．如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：． 3．如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：． 【考点四 补充条件使两个三角形相似】 例题：如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）． 【变式训练】 1．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 2．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________． 3．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·九年级课时练习）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 3．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023秋·九年级课时练习）如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，要使和相似，已具备条件 ，还需补充的条件是 ，或 ，或 ．    6．（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是 （写出一个即可）． 7．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上） 8．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在中，，，点为中点，点在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．    三、解答题 9．（2022春·九年级单元测试）如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 10．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上    (1)求证： (2)的的面积比为________． 11．（2023·浙江杭州·校联考三模）如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．    (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（2023秋·安徽·九年级阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 13