专题04 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题04 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【模型一 平移型模型】 1 【模型二 轴对称型模型】 3 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 6 【模型四 一线三等角模型】 10 【模型五 三垂直模型】 15 【模型六 旋转型模型】 20 【模型七 倍长中线模型】 27 【典型例题】 【模型一 平移型模型】 例题：（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．求证：．    【变式训练】 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．    2．（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点、、、同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（2023·云南昭通·校考三模）如图，与相交于点，，请你再添加一个条件，使得，并给出证明．（不得添加辅助线）    【变式训练】 1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D在上，点E在上，，．求证：．    2．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，．    (1)求证： (2)求证： 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式训练】 1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【模型四 一线三等角模型】 例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． (1)如图1，求证：BD＝CE； (2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 2．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 【模型五 三垂直模型】 例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【模型六 旋转型模型】 例题：如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数． 2．如图，已