专题12 模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

专题12 模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略 【考点导航】 目录 【考点一 （双）A字型相似】 1 【考点二 （双）8字型相似】 6 【考点三 母子型相似】 15 【考点四 手拉手型相似】 20 【考点五 K字型相似】 25 【考点六 三角形内接矩形】 31 【典型例题】 【考点一 （双）A字型相似】 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例题：如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式训练】 1．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知与的相似比为，则与四边形的面积比为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（　　）    A． B． C． D． 3．（2023秋·吉林松原·九年级统考期末）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，且，，求的长． 4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：． 5．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，． (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长比． 【考点二 （双）8字型相似】 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【变式训练】 1.如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（       ） A． B． C． D． 2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 3．（2023·上海嘉定·模拟预测）如图所示，延长平行四边形一边至点F，连结交于点E，若 ． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 4．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，M是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点F，与的延长线交于点H．    (1)图中相似三角形有______对； (2)若，求的度数． 5．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）【感知】如图①，在中，点为的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：点是的中点，点是的中点；    【应用】如图②，在四边形中，，点是的中点，，的延长线相交于点，求的长． 【扩展】如图③，在中，点是的中点，点是上一点，，、相交于点，求的值．    【考点三 母子型相似】 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． (1)求证：△ABC∽△BDC． (2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 3.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 【考点四 手拉手型相似】 【基本模型】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 【变式训练】 1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.