第一章 集合与逻辑（7大知识归纳+9大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第一章 集合与逻辑 （知识归纳+题型突破） 1.了解集合的定义，理解元素与集合的关系．熟练掌握数集的符号，了解集合的表示方法及元素的相关性质． 2.理解集合间的基本关系． 3.理解并掌握集合的基本运算． 4.理解并掌握充分条件与必要条件. 5.理解一些简单的命题的否定和反证法的推理逻辑. 1、集合的意义与表示 （1）集合及其表示 ①定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集； ②记法：集合通常用大写字母A、B、C、…来表示； ③常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集； 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N Z Q R 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物； （2）元素 ①定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素； ②记法：通常用小写字母a、b、c、…来表示； ③性质：确定性、互异性 、无序性. 注意：一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的； （3）元素与集合的关系 关系 定义 记法 读法 属 于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a∉A a不属于A （4）集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同 (即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等；记作A=B； （5）集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含有任何元素的集合，记作； 2、集合的表示方法 （1）列举法： 把集合中的元素不重复地一一列举出来，并用一对大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法； 【注意】应用列举法表示集合时应关注以下四点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物； （2）描述法： 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为A={x|x满足性质p}，这种表示集合的方法称为描述法； 【注意】应用描述法表示集合时应关注以下三点：①写清楚集合中元素的符号，如：数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如：方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母； 【注意】区分以下四个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合； ④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1. （3）区间的概念及表示 ①区间的定义及表示：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] ②无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】关于无穷大的两点说明：（1）“∞”是一个符号，而不是一个数；（2）以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号； 3、集合间的运算 （1）交集 ①文字语言：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B (读作“A交B”)； ②符号语言： A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}； ③图形语言： （2）并集 ①文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集， 记作A∪B(读作“A并B”)； ②符号语言： A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}； ③图形语言： （3）并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝A A∩∅＝∅ A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A （4）全集 ①定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集； ②记法：全集通常记作U； 【注意】全集并