课时作业（五十三）定点、定值、探索性问题-【学易优】2024年高考数学一轮总复习课时分层突破（北师大版）

高三总复习·数学（北师大版） 课时作业（五十三） 定点、定值、探索性问题 层级一基础巩固练 2.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为 1.已知抛物线y2=9x上一动点G,过点G作x轴 坐标原点，M为抛物线上一点，且MF= 的垂线，垂足为D,M是GD上一点，且满足GM 31OF,△MF0的面积为92， =3ǜ (1)求E的方程： (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若不过点F的直线1与E交于A,B两点， (2)若P(x0,4)为曲线C上一定点，过点P作两 ①线段AB的中点的纵坐标为3：②△ABF的重 条直线分别与抛物线交于A,B两点，若满足 心在直线y=2上：③|AF+|BF=13.请从以 kA十kB=2,求证：直线AB恒过定点，并求出 上三个条件中任选两个作为补充条件，问满足条 定点坐标， 件的直线1是否存在，若存在，求出直线1的方 程；若不存在，请说明理由。 ·288· 课时作业 3.(2023·顺义一模)已知椭圆C:号+兰 :都层级二 能力提升练 a =1(a>b 4.(2023·永州统考)椭圆C:2十京=1(a>6>0 >0)经过点(1， 小肉心率为温 (1)求椭圆C的方程； 的离心率是号，且过点P(2,1) (2)设直线1：y=kx十t(1≠0)与椭圆C相交于 A,B两点，O为坐标原点.若以OA,OB为邻边 的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求 证：平行四边形OAPB的面积是定值. (1)求C的方程： (2)过点P的直线l1,l2与C的另一个交点分别 是A,B,与y轴分别交于M,N,且M0=ON,PQ ⊥AB于点Q,是否存在定点R使得RQ是定 值？若存在，求出点R的坐标与RQ的值：若不 存在，请说明理由. ·289·参考答案与详解 (2)证明：设C(x1y1),D(xy).P(6,1). 若1≠0，设直线CD的方程为r=my十n, =2+可·+-3-2师·3-2 由题意可知一3<n<3. 1 =2√4yy-69+y)+9 由于直线PA的方程为y=合+3)， 所以=号红+3》： V)-1+9 1m+26m+25 直线PB的方程为y=气(x一3). 2V(m+3) 1-3)+26(1-3)+25 所以=子x-3. 21 可得3y1(x:-3)=y2(x1+3). 由子号+1， 故片=-十3)(，-3) 11 9 可得27y1y=-(x1+3)(.x1+3), 即(27+m2)yy:+m(n+3)(y1+y)+(n+3)2=0.① 课时作业（五十三）定点、定值、探索性问题 将x=my+n代入写+y=1得(m+9)y+2my+i-9g 1.【解】(1)设M(xy),G(x',y),则D(x',0), =0. x'=x 号 C=G市得 所以y十头=一2mm 号，代入9影得，= 代入①式得(27+m2)(n2一9)-2m(n+3)mn+(n+3)2· 所以动，点M的轨迹C:y=4x. (m°+9)=0. (2)证明：易得P(4,4),PA,PB的钟率存在，设AB:x=my 解得0=-3会去)m=2 十t,A(x1y1),B(xy)· 由 y-4x ,联立可得：y一4my-1=0, 故直线CD的方程为x=my十是，脚直线CD过定 x=my十 则△=16m+161>0,y+y:=4m,y1·y=-41①. a(20) 又中加=，别头+点十 若1=0，则直线CD的方程为y=0, 过点（受0） 号-地 将①代入②得：-21十8m十8=4m十8，∴1=2m, 综上，直线CD过定点（受，0） 所以x=my十2m=m(y十2)，所以直线恒过定点(0，一2). 4.【解】(1)设D(x,y),则Q(0,y)因QD=￥3Q泸， 2.【解】（1)报据抛物线的定义得1MF1=u十号=3×号- 则P方 3OF|∴xw=p,i=2p·p=2p,∴yw=士V2 又P在园0：+=1上，脚（后） Sam=210F1·lw=号·多·2p=92p=3, +y2=1. 所以E的方程为：y=6.x. 所以动点D的轨莲E的方程是写+y=1, (2)若选择①②，线段AB的中点的纵坐标为3，即yA十ym =6, (2)当直线1的斜率k=0时，直线1与椭回E相切，不符合 △ABF的重心在直线y=2上，脚必十+0-2，即4十3 题意， 3 因此k≠0，设直线l的方程为：x=my十， =6,直线【确定需要两个不同的条件，所以若选择①②不能 求出直线（的方程。 因直线1与园O相切，则 n =1,即n2=1十m2, √1+m 若选择①③ 由题意得直线【的斜率不为零， 由 江=my十”消去r并整理得： 1x2+3y=3 设方程为x=ty十m, (m2+3)y2+2mmy十n-3=0,△>0， 与抛物线联立y=6r 得y”-6ty-6m=0.设A(x1,y1) x