课时作业（四十三）空间距离及立体几何中的探索性问题-【学易优】2024年高考数学一轮总复习课时分层突破（北师大版）

课时作业 课时作业（四十三） 空间距离及立体几何中的探索性问题 审层级一基础巩固练 2.(2023·沈阳模拟)如图，已知直三棱柱ABC- 1.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面 A1B1C1中，AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M. ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. V,Q分别是CC1,BC,AC的中点，点P在直线 A1B1上运动，且A1户-AA1B(A∈[0,1]) (1)证明：无论入取何值，总有AM⊥平面PNQ: (2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC 的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置，若 E B (1)求点D到平面PEF的距离： 不存在，请说明理由。 (2)求直线AC到平面PEF的距离. ·267 高三总复习·数学（北师大版） 3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=:4.已知，图中直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是 6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE∥BC,DE 菱形，其中AA1=AC=2BD=4.点E,F,P,Q分 =2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置， 别在棱AA1,BB1,CC,DD1上运动，且满足BF 使A1C⊥CD,如图2. =DQ.CP-BF=DQ-AE=1. D B AM D 6 D 图1 图2 (1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面 A1BE所成角的大小； (1)求证：E,F,P,Q四点共面，并证明EF∥平 (2)线段BC上是否存在点P,使平面A,DP与 面PQB: 平面A1BE垂直？说明理由. (2)是否存在点P,使得二面角B-PQ一E的余 弦值为？如果存在，求出CP的长：如果不存 在，请说明理由。 ·268· 课时作业 层级二能力提升练 :6.(2023·永州模拟)如图，在四棱锥P一ABCD 5.(2023·河南六市模拟)如图所示，在四棱锥P一 中，CD∥AB,∠ABC=90°，BD⊥PA,AB=2BC ABCD中，AB⊥PC,AD∥BC,AD⊥CD,且PC =2CD=4. =BC=2AD=2CD=2√2，PA=2. (1)证明：BD⊥平面PAD: (2)设平面PAD∩平面PBC=l,l∩平面ABCD =G,PA=PD=2.在线段PG上是否存在点M, 使得平面PDC与平面MDC的夹角的余弦值为 ?若存在，求出兴的值：若不存在，请说明 理由 (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)在线段PD上，是否存在一点M,使得二面角 M-AC-D的大小为60？如果存在，求瑞的 值：如果不存在，请说明理由. ·269·参考答案与详解 因为h>0,所以h=2, ! 因为0<入<1，所以当入=0时，sim0取得最大值2 所以AA,的长为2. 故直线DP与平面ABE所成角的正孩值的最大值为徑 课时作业（四十三）空间距离及立体几何中的探索性问题 1.【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0), P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), E(1,0,F(分10，期E -(1,2- 6.【解】(1)证明：如图，连接AC,交BD于点O,连接EO. 脉=（分1-1） 设平面PEF的法向量为n=(x,y, ), 则/n·P心=0， x+2y-=0. 3 文= 所以 n·pf=0, 2x+y-=0, r=y. 令y=2,则n=(2,2,3).又D币=(0,0,1)， 因为AD=AB,CD=CB,AC=AC, 所以点D到平而PEF的距离 所以△ADC≌△ABC,所以∠DAO=∠BAO d=1Dt1=3=3v7 又因为AO=AO,所以△ADO2△ABO, √/1717 所以∠AOD=∠AOB=90°，所以AC⊥BD (2)由于E,F分别是AB,BC的中点，所以EF∥AC, 又EC⊥BD,EC∩AC=C,EC,ACC平面AEC, 所以AC∥平面PEF,所以A点到平面PEF的距离即为直 所以BD⊥平面AEC, 线AC到平面PEF的距离. 又OEC平面AEC.所以OE⊥BD 由于正=(0，空0)，又由(1)知平面PEF的法向量为n 又底面ABCD是圆内接四边形， 所以∠ADC=∠ABC=90 (2,2,3). 在R1△ADC中，由AD=√3，CD=1, 所以点A到平面PEF的距离为AE,川=L 可得AC=2.A0-号，所以AE+BC=AC, 所以∠AC=90能-2。 直线AC到手面PEF的E高为哥。 2.【解】(1)证明：如图，以A为坐标 易得△AEO∽△ACE, 原点，AB,AC,AA1所在的直线分 所以∠AOE=∠AEC=90°，即OE⊥AC 别为r轴，y轴，e轴建立空间直角 又AC,BDC平面ABCD,AC∩BD=O, 坐标系， 所以EO⊥平面ABCD,又EOC平面BED 则A(0.0,0),A(0,0,1),