课时作业（四十二）利用空间向量求空间角-【学易优】2024年高考数学一轮总复习课时分层突破（北师大版）

高三总复习·数学（北师大版） 课时作业（四十二） 利用空间向量求空间角 审层级一基础巩固练 2.(2023·焦作模拟)如图五面体ABCDEF中，AE 1.在四棱锥Q一ABCD中，底面ABCD是正方形， =V2EF,平面DAE⊥平面ABFE,平面CBF⊥ 若AD=2,QD=QA=5,QC=3 平面ABFE,∠DAE=∠DEA=∠CFB= 0 ∠CBF=∠EAB=∠FBA=45°，AB∥EF,点P 是线段AB上靠近点A的三等分点， 0 B (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD: (2)求平面BQD与平面AQD夹角的余弦值. (1)求证：DP∥平面CBF; (2)求直线DP与平面ACF所成角的正弦值. ·264· 课时作业 3.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横：4.(2023·衡水检测)如图，AE⊥平面ABCD,CF 线上，并作答 ∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE= ①AB⊥BC,②FC与平面ABCD所成的角为答： BC=2. ⑧∠ABC-F 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是菱 D 形，PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PD的中 点为F (1)求证：BF∥平面ADE: (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值： (3)若平面EBD与平面FBD夹角的余弦值为 3,求线段CF的长. (1)在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平 面PCG?若存在，指出G在AB上的位置并给 以证明：若不存在，请说明理由； (2)若 ,求二面角F一AC一D的余 弦值. ·265. 高三总复习·数学（北师大版） 层级二能力提升练 :6.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是圆 5.(2023·八省八校联考二)如图，在直三棱柱 内接四边形，CB=CD=CE=1,AB=AD=AE ABC-A1B1C1中，AC=V2BC=2AB=w2,E, =w3,EC⊥BD. F分别为线段BB1,A1C的中点. B C B (1)求证：平面BED⊥平面ABCD: (2)设线段AE的中点为M,线段AB的中点为 (1)证明：EF⊥平面AA1C1C: N,且点P在线段MN上运动，求直线DP与平 (2)若二面角C-AE-A的大小为号，求AA 面ABE所成角的正弦值的最大值. 的长 ·266·高三总复习·数学（北师大版） ∴.c=√/(-2m)+(-m)+(2m)=3m=3, 12.C【解析】设AC与BD相交于O .m=士1，.c=(-2,-1,2)或(2,1，一2). 点，连接OE,由AM∥平面BDE,且 (2)a=(1,1,0),b=(-1,0,2), AMC平面ACEF,平面ACEF∩平面 .a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1, BDE=OE,.AM∥EO. 又：a=√/T+1+0-2,b1=√(-1)+0+2-5， 又O是正方形ABCD对角线交点， ∴M为线段EF的中点 ..cos (a,b)-a a·b-1=_10 10 在空间直角坐标系中，E(0,0,1),F(22,1), 即向量a与向量B的夹角的余弦值为一西 由中点坐标公式，知点M的坐标（侣，号，） 10 10.【证明】因为AB=AC,E为BC的中点， 13.3 【解析】由题图知，设A=AAC(0<A<1), 所以AE⊥BC. 图为AA1⊥平面ABC,AA1∥BB, 由已知C=A市+市+不=2正+3+号花，所以 所以过E作平行于BB,的垂线为轴，EC,EA所在直线 分别为x轴，y轴， AM=2x正+3双A产+逊G, 建立如图所示的空间直角坐标系， 周为M,EF,G回点共面，所以2以十3以+登=1， 年得后 14.【解】(1)证明：由题意知，DA,DC, DP两两垂直， 如图，以DA,DC,DP所在直线分别 为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐 标系，设AD=a, 则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), 因为AB=3,BE=5. C0a.0).Ea,号，0，P0,0a), 所以AE=2, 所以E(0,0,0),C(5,0,0),A(0,2,0),B(一5,0,0)， F号，受，兰).E=(-号0，受).D成=(0a,0.周为E B,(-5,0,27). ·D式=0，所以EF⊥D心，从而得EF⊥CD. (2)存在.理由如下：假设存在满足条件的点G, A,02,则F(51.号） 设x,0,则t=x-号-受-受 1-(复1.号）亦=(-后-20.=0.0 若使GF⊥平面PCB,则由 设平面AAB,B的一个法向量为n=(x,y,), t0i=-受-号-受a0,0 则n·A店-0， n·AA=0, =aa-号)=0，得r=号 x=-2. 所以 1-5x-2y=0取y=5, 由tC币=(r-受号-号)0，-aa) 1、7x=0, 之=0， =号+a-受)=