高考压轴题专项（一）函数、导数与不等式-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（北师大版）

高三总复习·数学（北师大版）】 考点2利用导数求函数的最值 【跟踪训练】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚 【例2】已知函数f(.x)=lnx-a.x-2(a≠0). 度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米， (1)讨论函数f(x)的单调性： 体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有 (2)若函数f(.x)有最大值M,且M>a一4.求实 关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建 数a的取值范围. 造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成 听课记录： 本为12000π元(x为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定 义域： (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何 值时该蓄水池的体积最大 【名师支招】 L,求函数f(x)在[ab们上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值， (2)求函数在区间增点的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的授值与f(a),f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为最小值： 2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值， 般要根据其极值及单调性画出函数的大致图 象，借图求解， 注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最 温馨 值点，要通过比较再下结论 提示 请做课时作业（十七）P2司 高考压轴题专项（一） 函数、导数与不等式 第1课时 导数与不等式 【考向预测】导数中的不等式证明经常被考查，常与函数的性质，函数的零点与极值、数列等相结合，虽然 题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题日，灵活采用不同的解题 方法，可以达到事半功倍的效果。 课上研考点 考点门构造函数证明不等式 听课记录： 【例1】(2023·海淀统考)已知函数∫(x) 44444 xln (+1). (1)判断0是否为∫(x)的极小值点，并说明 理由： (2)证明：2>- 2 2x+1. ·52· 第三章一元函数的导数及其应用 【名师支招】 【名师支招】 1.欲证函数不等式f(x)>g(x)(x>a),只需 要证的不等式中既含有指数又含有对数，若直 证明f(x)-g(x)>0(x>a),设h(x)= 接用作差或作商的方式构造函数，求导后不易 f(x)-g(x),即证h(x)>0(x>a).若h(a) 处理，我们可以在合理地分拆和转化后，按照需 =0,h(x)>h(a)(x>a.接下来往往用导数 要构造函数，如本题，把证明x(1nx+1)> 证得函数h(x)是增函数即可. e+万 2.欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,1是区 三分拆为两个函数fr)三xnx十x和G(r 间)，只需证明f(x)一g(x)>0(x∈I). 设h(x)=f(x)一g(x)(x∈)，即证h(x)>0 司一总，使指数与对数分开，仅会指数成 (x∈I),也即证h(x)mim>0(x∈I)(若 对数，再利用导数求出所构造函数的最值来证 h(x)mim不存在，则需求函数h(x)的下确 不等式成立 界)，而这用数往往容易解决 【跟踪训练】 【跟踪训练】 (2023·河南名校联考)已知函数f(x)=a.xlnx 设a为实数，函数f(x)=e一2x+2a,x∈R. -2x,a∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值： (1)讨论f(x)的单调性： (2)求证：当a>ln2-1且x>0时，e>x2-2a.x (2)证明：当a=1时，f(x)+f(e)+2e>0. +1. 考点2隔离分析最值法证明不等式 考点3借助于c≥x十1和lnx≤x-1放缩 【例2】已知函数f(x)=xlnx一ax, 证明不等式 (1)当a=一1时，求函数f(x)在(0，+oo)上的 最值： 【例3】已知函数x)=ain(x-1D十，名其中 (2)证明：对一切x∈(0，十∞)，都有nx十1> a为正实数 (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：当x>2时，f(x)<e+(a-1).x-2a. 听课记录： 听课记录： 53· 高三总复习·数学（北师大版）】 【名师支招】 (3)证明：当x>-1时，f(x)<(x2+2x+2)er. 某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以 适当地利用熟知的函数不等式e≥x十1,1 ≤Inr≤x一1等进行放缩，有利于简化后续 x 导数式的求解成函数值正负的判断：也可以利 用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造面 数进行证明. 【跟踪训练】 已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1,函数 g(x)=a.x-1-blnx(a,b∈R,ab≠0). (1)讨论g(.x)的单调性： 温馨 提示 请做课时作业（十八）P (2)证明：当x0时，f(x)≤3x十1： 第2课时 导数与恒成立、能成立问题 【考向预测】恒成立问题与有解问题是高中数学的重要知识，其