第七章 第五节 空间向量及空间位置关系-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（北师大版）

第七章立体几何与空间向量 【名师支招】 (1)证明：AE∥平面BDF; 三种垂直的综合间商，一般通过作辅助线进行 (2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否 线线、线面、面面垂直间的转化.求解时应注意 存在点P,使得PM⊥BE?若存在，确定点P的 垂直的性质及判定的综合应用，如果有平面垂 位置，并加以证明：若不存在，请说明理由. 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线 的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化 为线线垂直。 【跟踪训练】 (2023·林州联考)如图所示，平面ABCD⊥平面 BCE,四边形ABCD为矩形，BC=CE,点F为 CE的中点， 温提 请做课时作业（四十）P20 第五节 空间向量及空间位置关系 新课程标准 考向预测 高考命题常与直线、平面的平行与垂直以及空 1.会进行空间向量的线性运算， 命题 间角结合在一起考查，主要考查如何建立空间 2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能 角度 直角坐标系，求点的坐标以及运用公式求解 解决相关问题。 问题 3.会进行向量的数量积运算，能利用向量的 数学运算 数量积解决向量的夹角、模以及两向量的 核心 逻辑推理 垂直问题. 素养 直观想象 课前数材回 O知识梳理 自由向量 与向量的起点无关的向量 1.空间向量的有关概念 名称 定义 相反向量 方向 且模 的向量 在空间中，具有 和 共线向量 表示向量的两条有向线段所在 空间向量 的量 或平行向量)的直线 或 的向量 相等向量 方向 且模 的向量 共面向量 平行于 的向量 117. 高三总复习·数学（北师大版） 2.空间向量的有关定理 ④经典结论 (1)共线向量基本定理：空间两个向量a,b(b≠0) 1.对空间任一点O,若O币=xOA+yO(.x十y 共线的充要条件是存在唯一的实数A,使得a=b. (2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那 1),则P,A,B三点共线 么向量p与向量a,b共面的充要茶件是存在唯 2.对空间任一点O,若O币=xOA+yO谚+O心 的有序实数对(x,y),使p=xa十3b。 (x十y十=1)，则P,A,B,C四点共面 (3)空间向量基本定理 3.平面的法向量的确定：设a,b是平面a内两不共 如果a,b,c是空间三个不共面的向量，p是空间 线向量，n为平面a的法向量，则求法向量的方 任意一个向量，那么存在 的三元有序实 n·a=0, 数组(x,y,z),使得p=0十3b十c. 程组为 nb=0. 3.空间向量的数量积及运算律 0基础热身 (1)数量积 空间向量a,b的数量积a·b=albcos(a,b). L.判断正误 (2)空间向量的坐标表示及其应用 (1)直线的方向向量是唯一确定的. 设a=(a1agag),b=(h,be,b） (2)若直线a的方向向量和平面的法向量平 向量表示 坐标表示 行，则a∥a () 数量积 a·b (3)在空间直角坐标系中，在O:平面上的点的 a=Ab 坐标一定是(0，b,c. ()） 共线 (b≠0，A∈R) (4)若a·b<0,则(a,b》是钝角 ( a·b=0 2.如图所示，在平行六面体ABCD一A1B1C1D1 垂直 (a≠0，b≠0》 中，M为A:C1与B1D1的交点，若AB=a,AD= 模 al √ai十ai+a b,AA=c,则下列向量中与BM相等的向量是 cos (a.b) cos (a,b)= 夹角 a·b 余弦值 ab ab十ab十a3b √a+a吃+a·√所+房+房 (a≠0，b≠0》 4,空间位置关系的向量表示 (1)设点A,B是直线1上不重合的任意两点，称 AB为直线1的方向向量. A.- (2)如果一条直线1与一个平面a垂直，那么就 20十 2b+c B.2a+zb+e 把直线（的 n叫作平面a的法向量. C.- 2a-zb+e D.za-2b+e (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 3.0为空间任意-点，若0-80i+g+心 直线1,2的方向向 1∥gn1∥n台m1=an2(a∈R) 则A,B,C,P四点 量分别为n1n 4⊥g n1⊥n2白n1·n2=0 A.一定不共面 B.一定共面 直线1的方向向量为 l∥a n⊥m学程·m=0 C.不一定共面 D.无法判断 n,平面a的法向量为 l⊥a n∥n=n=n(A∈R) 4.设W,v分别是平面a,3的法向量，W=(一2,2,5)， m,l亡a 平面a,3的法向量分 a∥3 n∥m台程=n(∈R】 当，=(3，一2,2)时，a与3的位置关系为 当 别为n,加 n阴=n·m=0 v=(4,一4，一10)时g与3的位置关系为 118 第七章立体几何与空间向量 课上研金考 考点门空间向量的线性运算 考点2空间向量基本定理及其应用 【例1】如图，在平行六面体ABCD一