第七章 第四节 直线、平面垂直的判定与性质-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（北师大版）

高三总复习·数学（北师大版） 第四节 直线、平面垂直的判定与性质 新课程标准 考向预测 高考命题常以线线垂直、线面垂直及面面垂直 1.会利用直线、平面垂直的判定与性质定理 命题 的判定及其应用为重点，以及用其进一步研究 证明问题 角度 体积、距离、角的问题，还可与直线与平面平行 2.会利用面面垂直的判定与性质定理证明 相结合进行命题的判断。 问题 3.能够对线线，线面、面面垂直进行相互转 直观想象 核心 化，会解决与垂直有关的综合问题。 逻辑推理 素养 数学运算 课前回的 O知识梳理 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为 端点，在两个半平面内分别作 的两条射 1.直线与平面垂直 线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角. (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面a内的 直线都垂直， 那么称直线【与平面a垂直. (2)判定定理与性质定理 (3)二面角的范围：[0，π]. 文字语言 图形表示 符号表示 4.平面与平面垂直 如果一条直线 (1)平面与平面垂直的定义 与一个平面内 两个平面相交，如果所成的二面角是 判定的 就说这两个平面互相垂直。 定理垂直，那么该 在n六 直线与此平面 (2)判定定理与性质定理 垂直 文字语言 图形表示 符号表示 如果一个平 性质 垂直于同一个 a1e1 定理 平面的两条直 >a∥b 面过另一个 b⊥a 线平行 判定平面的 定理 ,那么 2.直线和平面所成的角 这两个平面 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 乖直 所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成 两个平而垂 的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 直，如果一 :一条直线和平面平行，或在平面内，则 个平面内有 一条直线垂 它们所成的角是0的角。 性质 直于这两个 (2)范围：[0引 定理 平面的 ·那么 3.二面角 这条直线与 (1)定义：从一条直线出发的 所组成 另一个平面 的图形称为二面角： 垂直 ·114 第七章立体几何与空间向量 0经典结论 (3)设m,n是两条不同的直线，a是一个平面，若 m∥n,m⊥a,则n⊥a ()》 直线与平面垂直的五个结论 (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂 条直线垂直于另一个平面 直于这个平面内的任意直线 2.设a,3是两个不同的平面，l,m是两条不同的直 (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则 另一条也垂直于这个平面， 线，且lCa,mCB,下列结论正确的是() A.若1⊥3，则a⊥3 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 B.若a⊥3，则1⊥m C.若l∥3，则a∥3 D.若a∥3，则l∥m (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这 3.若斜线段AB是它在平面a内射影长的2倍，则 条直线与另一个平面也垂直. AB与平面：所成的角的大小为 () (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们 A.60 B.45 的交线也垂直于第三个平面. C.30 D.90° 0基础热身 4.在三棱锥P一ABC中，点P在平面ABC中的射 1,判断正误 影为点O (1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心 (2)直线1与平面a内的无数条直线都垂直，侧 (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是 l⊥a. △ABC的 心. 课上研续考 考点门直线与平面垂直的判定与性质 【名师支招】 【例1】如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平 证明线面垂直的常用方法及关键 面，M.N分别是AB,PC的中点， (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定 理：②垂直于平面的传递性(a∥b,4⊥a→ b⊥a):③面面平行的性质(a⊥a,a∥B→a⊥3)： ④面面垂直的性质。 (2)证明线面垂直的关健是证线线垂直，而证明 (1)求证：MN⊥CD: 线线垂直则需借助线面垂直的性质。 (2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD 【跟踪训练】 听课记录： 如图所示，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为 正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G 为AD的中点. (1)求证：BG⊥平面PAD: (2)求证：ADLPB: ·115 高三总复习·数学（北师大版） (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到：【跟踪训练】 一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你 如图，在三棱柱ABC一 的结论。 A1B:C中，∠ACB ∠AAC=90°，平面 AACC⊥平面ABC. (1)求证：AA1⊥A1B: (2)若AA1=2,BC=3,∠A1AC=60°，求点C到 平面A1ABB1的距离. 考点2平面与平面垂直的判定与性质 【例2】如图，四棱锥P一ABC