第七章 第六节 立体几何中的向量方法-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（北师大版）

第七章立体几何与空间向量 第六节立体几何中的向量方法 新课程标准 考向预测 高考命题常以解答题的形式考查空间角与距 命题 离，难度中等，特别是角的计算是每年必考考 1.会求异面直线夹角，直线与平面夹角，平面 角度 点.一般以大题的条件或一小问的形式呈现，考 与平面夹角等各种空间夹角、距离等问题 查用向量方法解决立体几何问题。 2.体会向量方法在研究立体几何中的作用. 数学运算 核心 逻辑推理 素养 直观想象 课前材回 O知识梳理 面a内的射影，OC为平面&内的一条直线，其中 0为OA与OC所成的角，A1为OA与OB所成的 1.异面直线所成的角 角，即线面角，为OB与OC所成的角，那么 若向量a,b分别为直线a,b的方向向量，则直线4 cos 0=cos 0 cos 02. 与6所成的角0e[0,引且0与两个方向向量所 2.线面角0的正弦值等于直线的方向向量a与平 成的角〈a,b)相等或互补，则cos0=|cos(a,b). 面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin日 2.直线与平面所成的角 =|cos(a,n)|,不要误i记为cos8=lcos(a,n). 设向量1为直线l的一个方向向量，n是平面a 3.平面与平面所成的角和二面角的概念不同. 的一个法向量，则直线1与平面a所成的角 ④基础热身 0e0,]且0=受-1.m或0=(1.m)-受，故 1.判断正误 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所 sin 0=lcos (I,n)I. 成的角。 () 3.二面角 (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就 一般地，已知1,2分别为平面a,B的法向量， 是直线与平面所成的角。 则二面角aα一1一3的平面角与两法向量所成角 (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的 n1,2》 或 夹角 () 4.点到直线的距离 (4)直线【平行于平面a,则直线【上各点到平面 若点P是直线1外一点，是直线1的单位方向 a的距离相等。 () 向量，点A是直线！上任意一点，则点P到直线 2.已知向量m,n分别是直线1和平面a的方向向 的距离d=√PA2-P·16F 5.点到平面的距离 量和法向量，若cos《m,m)=一，则1与a所成 点P到平面a的距离，等于点P与平面a内任意一 的角为 () 点A连线所得向量PA,在平面a的单位法向量 A.30° B.60 C.120° D.150 方向上所作投影向量的长度，即d=PA·, 3.空间中有三点P(1,-2,一2)，M(2,-3,1), 0经典结论 N(3,一2,2)，则点P到直线MN的距离为() A.2√2 B.23 C.3 D.2w5 1.最小角定理cos0=c0s0cos% 4.在长方体ABCD-A1BCD1中，AB=2,BC= 如图，若OA为平面a的一条斜 AA1=1,则D1C,与平面A1BC1所成角的正弦 线，O为斜足，OB为OA在平 值为 121· 高三总复习·数学（北师大版）】 第1课时 利用空间向量求空间角 课上研d 考点个异面直线所成的角 【跟踪训练】 如图所示，在三棱柱ABC一A1BC中，AA1⊥ 【例1】如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面 底面ABC,AB=BC=AA1·∠ABC=90°，点E, ABCD.底面ABCD是菱形，AB=2,∠BAD F分别是棱AB,BB1的中点，试求直线EF和 =60°. BC所成的角. (1)求证：BD⊥平面PAC: (2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值： (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA 的长 听课记录： 考点2直线与平面所成的角 【例2】(2022·全国甲卷)在四 棱锥P一ABCD中，PD⊥底面 ABCD,CD∥AB,AD=DC= CB=1,AB=2,DP=3. (1)证明：BD⊥PA: (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 【名师支招】 听课记录： 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空何直角坐标系. (2)用坐标表示两异面直线的方向向量， (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余 弦值. (4)注意两异面直线所成角的范国是(0，]， 即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角 的余弦值的绝对值 122· 第七章立体几何与空间向量 【名师支招】 【名师支招】 利用向量法求线面角的方法 两个平面夹角的向量求法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影真线的方 设n1,2分别是平面a,3的法向量，测向量 向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补 与n妇的夹角（或其补角）就是两个平面的夹角， 角. 用坐标法的解题步骤如下： (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向 (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐 向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就 标系： 是斜线与平面所成的角， (2)求法