第六章 第四节 数列求和及数列的综合应用-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（北师大版）

第六章数列 第四节 数列求和及数列的综合应用 新课程标准 考向预测 数列求和是高考的重点考查内容，可以综合数 列的概念、性质、公式等进行.客观题型和解答 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和 命题 题型都可以出现，重点考查逻辑推理和数学运 公式，能够利用公式求数列的前”项和. 角度 算能力.既可以是基本解算的简单题或中等题， 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见 也可以出现在难度较大的综合题中， 方法。 3.能解决一些等差与等比数列之间、数列与 数学运算 函数，不等式之间的综合应用问题 核心 素养 逻辑推理 数学建模 课前数付回多 )知识梳理 0经典结论 数列求和的几种常用方法 1.公式法 L.1+2+3+4+…+m=(m+1) 2 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式 2.1*+22+…+m2=n(n+1)(2n+1) 求和. 6 (1)等差数列的前n项和公式： 3.裂项求和常用的三种变形 S-nai amau(n Dd. 11 (1) 2 2 n(n十1)nn十1 (2)等比数列的前n项和公式： 22-2m+D2(22 1 11 [ma1g=1. S= 1 a1-aw9_a1(1-g" (3) =√n十T-m 1一4 1-q ,9≠1. n+√m+1 2.分组求和法与并项求和法 4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况 或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和 求解. 法，分别求和后相加减。 O基础热身 (2)形如a。=(一1)”·f()类型，常采用两项合 并求解， 1.判断正误 3.错位相减法 (1)若数列{am)为等比数列，且公比不等于1，则 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个 其前n项和S。-a二a 1一4 () 等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的 前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项 和公式就是用此法推导的， 2当≥2时() 4,裂项相消法 (3)求Sn=a+2a2+3a3+…十na"时只要把上 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一 式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求 些项可以相互抵消，从而求得其和， 和. () ·101 高三总复习·数学（北师大版） (4)若数列a1ag一a1…,aw一a-1是首项为1， A.1 公比为3的等比数列，则数列{aw)的通项公式是 a,=3”-1 D. 1 2 c 30 2.数列{1+2-与的前n项和为 ( 2 A.1+2" B.2+2“ C.n+2w-1 D.n+2+2" A.2”-力 2 B.2”+1-1-2 2 1 3.数列{a}的前n项和为Sm,若am=n十D则 C.2”-n+1 D.20+1-n+2 2m+1 S:等于 24 课上分金舍 考点门分组转化求和与并项求和 【跟踪训练】 (2023·淄博一模)已知数列{an}满足：a1=1,且 【例1】(2023·景德镇模拟)已知等差数列 4n十1，n为奇数 {am}满足a2=4,ag十a4=17. 4m+1 n∈N+).设n=a2n-1 (2an,n为偶数 (1)求数列{am}的通项公式： (1)证明：数列{6十2}为等比数列，并求出 (2)若数列{bn}满足b1=2,再从①bw+1=2bn: {bn}的通项公式： ②2bn+1=bn:③b+1=一bn这三个条件中任选 (2)求数列{am}的前21项和. 一个作为已知，求数列{am十bn}的前n项和Tm: 听课记录： 4 【名师支招】 分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bn士cm·且{bm},(cn}为等差或等比 考点2裂项相消法 数列，则可采用分组求和法求{am》的前n项和， 【例2】(2023·六安模拟)在①a1=1.且am+1= bnn为奇数， Sn+1,Sm为数列{am}的前n项和，②a1=1,且 (2)通项公式为am 的数列，其 cwn为倘数 a+1=am(8aw一2aw+1)这两个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解答。 中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列，可采 用分组求和法求和。 已知正项数列{a,}满足 102· 第六章数列 (1)求数列{am}和{bu}的通项公式 考点3错位相减法求和 (2)设数列{cu}满足cn=√3b品十1一后，且{cm}的 【例3】已知数列{an}是公比g>1的等比数列， 前n项和为T,求证：n≤工，<n十号 前三项和为13，且a1,a2+2,a3恰好分别是等差 数列{b.}的第一项，第三项，第五项。 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解 (1)求{an!和{bn}的通项公式： 答给分， 1=2一1 听课记录： (2)已知k∈N,数列{G,}满足cn ab n=2k 求数列{cn