第二章 第四节 幂函数与二次函数-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（北师大版）

高三总复习·数学（北师大版） 核心素养落实2数学抽象 破解抽象函数问题 【解读】对抽象函数的研究是高考中经常出现的 【名师支招】 题型，由于它通常没有给出具体的解析式，因此 常见的抽象函数模型 处理起来有一定摊度，许多抽象函数问题又将函 (1)f(xy)=f(x)+fy)可看作是fx)=logx或 数，方程和不等式等内容综合于一题，在“抽象” f(x)=log|x的抽象表达式(a>0,且a≠1). 中具体考查学生的逻辑推理能力，抽象思维能力 (2)f（.x+y)=f(x)+f(y)可看作是f(x)=kx 与创新能力. 的拍象表达式。 【典例】设函数y=f(.x)(x∈R,且x≠0)对任意 (3)f(x+y)=f(x)f(y)可看作是f(x)=a的 非零实数x2,恒有fx12)=f八x)+f.x2),且 抽象表达式(a>0,且a≠1) 对任意x>1,f(x)<0. (4)f(x十y)+f(x-y)=2f(x)f(y)可看作是 (1)求f(-1)及f门)的值： f(x)=cosx的抽象表达式. (2)判断函数f(x)的奇偶性： 注意可以倍助这些熟悉的函数探究抽象函数 问题的解题方向以及抽象函数的性质， (3)求解不等式x)+/(一多)0， 【跟踪训练】 听课记录： [多选]定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)= f(.x)+f(y),当x<0时，f(x)>0,则函数f(x) 满足 () A.f(0)=0 B.y=f(x)是奇函数 C.f(.x)在[1,2]上有最大值f(2) D.f(,x-1)>0的解集为{xx<1 温馨。 提示 请做课时作业（八）P15 第四节幂函数与二次函数 新课程标准 考向预测 高考命题常以基本初等函数为载体，考查单调 命题 性的判断，利用单调性比较大小、解不等式，求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变 角度 函数的最值.函数单调性的应用是高考热点，常 化规律。 以选择题或填空题的形式出现。 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称 性，顶点，最值等). 数学抽象 核心 逻辑推理 素养 数学运算 ·24· 第二章函数 课前材回 ●● O知识梳理 值域 4bc-b2 4ac-b2 1.幂函数 o,4a (1)幂函数的定义 一般地，形如 (a为常数)的函数，即 对称轴 Th- b 24 是自变量、 是常数的函数称为幂 函数. 顶点 b Aac-b2 (2)常见的五种幂函数的图象 坐标 2a Aa 当b=0时是偶函数，当b≠0时是 奇偶性 非奇非偶函数 -2- 在(-，]上在(-，]上 单调递 单调递 单调性 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义. 单调递 单调递 团当a>0时，幂函数的图象都过点 和 ④经典结论 ,且在(0，十∞)上单调递增. 1.巧识幂函数的图象和性质 ③当a<0时，幂函数的图象都过点 ·且 在(0，十∞)上单调递减」 在直线x=1右侧，幂数 的指数巾下向上逐渐增大 ④当a为奇数时，y=x为 :当a为偶数 当a>0时，函数在第一象 时，y=x为 限内单叫递增 2.二次函数 当a<0时，数在第一象 限内单同递减 (1)二次函数解析式的三种形式 图象恒过点(1，) ①一般式：f(x) 2.一元二次不等式恒成立的条件 ②顶点式：f(.x)=a(.x一m)2十n(a≠0)，顶点坐 (1)“a.x2+br+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件 标为 是“a>0且△<0". ③零点式：f(.x)=a(x-)(x-x2)(a≠0)，r1 (2)“a.x2十hx十c<0(a≠0)恒成立”的充要条件 x2为f(x)的 是“a<0且△<0”. (2)二次函数的图象和性质 。基础热身 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c 1.判断正误 函数 (a>0) (a<0) (1)函数y=2.x是幂函数 () (2)当a>0时，幂函数y=x在(0，十∞)上是增 函数 图象 (3)当n是偶数时，幂函数y=x(m,n∈Z,且m 抛物线) 是奇数)是偶函数 () (4)二次函数y=a.x2十b.x十c(x∈[m,n],其中 定义域 尔 m<n)的最值一定是4如c一 4a () 25· 高三总复习·数学（北师大版） 2.已知幂函数f(x)=表·x“的图象过点 12 B（,-0 则k十：等于 c(0+ n(-0 A司 B.1 c D.2 4.已知函数f(x)=x+2a.x+3,若y=f(x)在区 3.已知函数f(x)=a.x2十x十5的图象在x轴上 间[一4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围 方，则a的取值范围是 为 课上研 考点门幂函数的图象与性质 考点2二次函数的解析式 【例1】(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，则 【例2】(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为 幂函数y=f(x