第二章 第八节 方程解的存在性及方程的近似解-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（北师大版）

第二章函数 第八节方程解的存在性及方程的近似解 新课程标准 考向预测 高考命题常以基本初等函数及其图象为载体。 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程 命题 考查函数零点是否存在、存在的区间及个数，利 根的存在性及根的个数，从面了解函数的 角度 用零点的存在情况求参数是高考热点，常以选 零点与方程根的联系 择题或填空题的形式出现 2.根据具体函数的图象，能借助计算器用二 数学抽象 分法求相应方程的近似解。 核心 素养 逻辑推理 直观想象 课前数材回多 O知识梳理 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可 1.函数的零点与方程的解 能变号，也可能不变号。 (1)函数零点的概念 ④基础热身 使得f(x0)=0的 称为方程f(x)=0的 1.判断正误 解，也称为函数f(.x)的 (2)函数零点与方程实数解的关系 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有 台函数y=f(x)的图象与 有公共点 (2)连续函数y=f(x)在区问(a,b)内有零点，则 (3)函数零点存在定理 f(a)·f(b)<0. () 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 (3)函数y=f(x)为R上的单调函数，则f(x)有 的曲线，并且在区间端点的函数值一正一 且仅有一个零点， () 负，即 ,则在开区间(a,b)内，函数y= (4)二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)，若b2-4ac f(r) 零点，即在区间(a,b)内相应的方 <0,则f(x)无零点. () 程f(.x)=0至少有一个解. 2.二分法 2.函数f(x)=lnx- 二的零点所在的大致区间是 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b们，若函数y =f(x)的图象是一条 的曲线，f(a)·f(b) <0,则每次取区间的 ,将区间 A.(1.2) B.(2.3) 再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程 近似解的方法称为二分法。 c(和3 D.(4,+∞) O经典结论 3.函数f(.x)=2sinx-$in2x在[0,2x]的零点个 数为 () 有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调 A.2 B.3 函数，则f(x)至多有一个零点， C.4 D.5 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所 4.函数f(x)=a.x2一x一1有且仅有一个零点，则 有函数值保持同号. 实数a的值为 ·39· 高三总复习·数学（北师大版】 课上研续考点 考点个函数零点所在区间的判定 (2)函数f(x)=√36-x·cosx的零点个数为 【例1】(1)[多选](2023·衡阳模拟)函数f(x) e一x一2在下列哪个区间内必有零点 听课记录： A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 【名师支招】 求解函数零点个数的基本方法 (2)若a<b<c,则函数f(x)=(x一a)(x-b)十 (1)直接法：令f(x)=0,方程有多少个解，则 (x一b)·(x一c)十(x一c)(x一a)的两个零点分 f(x)有多少个零点. 别位于区间 ( (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单 A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞，a)和(a,b)内 调性、奇偶性等。 C.(b,c)和(c,十o∞)内 D(-∞，a)和(c,十o∞)内 (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函 听课记录： 数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零 点个数， 【名师支招】 【跟踪训练】 判断函数零点所在区间的方法 1.函数f(x)=xcos2x在区间[0,2x]上的零点的 (1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解 个数为 方程. A.2 B.3 (2)利用零点存在性定理求解 C.4 D.5 (3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 2.s数y=lgx一sinx的零点个数为 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所 考点3函数零点的应用 给区问上是否有交点来判断. 甲考向1与函数零点有关的大小比较 【跟踪训练】 【例3-1】(2023·保定模拟)已知函数f(x)=2 1.(2023·太原模拟)利用二分法求方程logx=3 十Tg(x)=x-logx,h(x)=log2-(的零点 一x的近似解，可以取的一个区间是 分别为x1,x2,则1,2的大小关系为 A.(0,1) B.(1.2) ( C.(2,3) D.(3,4) A.x1>x2>3 B.x2>x1>x3 2.已知2<a<3<b<4.函数y=logar与y=-x C.1>r3>2 D.3>x2> 十b的交点为(x,y6),且xo∈(，n十1)，nE 听课记录： N+,则n= w考向2由函数零点存在情况或个数求参数 考点2函数零点个数的判断 范围 【例2】(1)(20