专题19 抛物线中的定点、定值、定直线问题-2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

专题19 抛物线中的定点、定值、定直线问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 3．过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为    A． B． C． D． 4．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 6．已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、，若轴是的角平分线，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 7．已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 8．已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 10．已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点 11．已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的最小值为 B．若，则的面积为 C．若，则直线过定点 D．若，过的中点作于点，则的最小值为 12．已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．设A、B为抛物线上的点，且（O为原点），则直线必过的定点坐标为 ． 14．已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 15．已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 16．经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线 上．（写出此直线的方程） 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线，，是C上两个不同的点． (1)求证：直线与C相切； (2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 18．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值． 19．已知过点的直线交抛物线于A，B两点，且（点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点，直线NP过定点. (1)求该抛物线的标准方程； (2)证明：直线MN过定点. 20．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 21．已知动圆与圆外切，与轴相切，记圆心的轨迹为曲线，． (1)求的方程； (2)若斜率为4的直线交于、两点，直线、分别交曲线于另一点、，证明：直线过定点． 22．已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时， (1)求E的标准方程