专题14 双曲线中的向量问题-2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

专题14 双曲线中的向量问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ） A． B．9 C． D． 5．过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（    ） A．C的离心率为2 B．若，则C的方程为 C．若，则（O为坐标原点）的面积为 D．若，则C的焦距为 10．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（    ） A．直线与轴垂直 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点） 12．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（    ） A． B．－ C． D．－ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为 ． 14．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ． 15．已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则 . 16．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程. 18．已知，，点满足，记点的轨迹为， (1)求轨迹的方程； (2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由． 19．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 20．已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F． (1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积； (2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值． 21．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点． (1)求双曲线的离心率； (2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程； (3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同