1.3.2 空间向量运算的坐标表示-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 学习目标 1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题． 2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直． 3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题. 01空间向量的坐标运算 PART ONE 空间向量的坐标运算 探究：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标表示并给出证明吗？ 空间向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3） a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3） λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R ab=（a1b1,a2b2,a3b3） 空间向量的坐标运算 下面我们来证明空间向量的数量积运算的坐标表示： 设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则 a=a1i+a2 j+a3k,b=b1i+b2 j+b3k ∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k） ∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0 ∴ab=（a1b1,a2b2,a3b3） 其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成。 空间向量的坐标运算 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示是完全一致； 如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 减去起点坐标. 空间向量的坐标运算 类似平面坐标运算的坐标表示，我们还可以得到： 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 空间向量的坐标运算 空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 02空间向量坐标运算的应用 PART ONE 空间向量的坐标运算 1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b 空间向量的坐标运算 2.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 ＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标． 由题可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，设点P的坐标为(a，a,1)， 因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为 . 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 因为PQ⊥AE，所以 · ＝0，所以 ·＝0， 即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为. 空间向量的坐标运算 3.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求FH的长； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 解：如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)． (1)∵H是C1G的中点，∴H . 又F (，，0)，∴FH＝||＝＝. (2)∵ ＝，则| |＝. 又||＝，且 ·＝， ∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为 . 空间向量的坐标运算 方法总结 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为几何结论． 空间向量的坐标运算 3 空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 04课堂小结 PART ONE 课堂小结 |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝. 则P1P2＝||＝_____________________________. 4.已知a=(-,2,),b=(3,6,0),则|a|=　　　　　,a与b夹角的余弦值等于　　　　　.  解析:|a|==3 a与b夹角的余弦值cos<a,b>=. 5在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5). (1)求顶点B,C的坐标; (2)求; (3)若点P在AC上,且,求点P的坐标. 解:(1)设B(x,y,z),C(x1,y1,z1), 所以=(x-2,y+5,z-3),=(x1-