专题22.9 二次函数的应用-几何图形问题（四大考点）-2023-2024学年九年级数学上册考点剖析及精准练习（人教版）

专题22.10二次函数的应用-几何图形问题 1.能够根据二次函数的相关性质解决几何图形问题； 2.通过对实际问题分析，体会二次函数的意义 二次函数与几何图形的问题： 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用几何图形的周长及面积公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 考点01周长问题 例1．如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)矩形的顶点在轴上（不与重合），另两个顶点在抛物线上（如图）． ①当点在什么位置时，矩形的周长最大？求这个最大值并写出点的坐标； ②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由． 变式1-1．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点到轴的距离是4，抛物线与轴相交于两点，；矩形的边在线段上，点、在抛物线上． (1)请写出两点坐标，并求这条抛物线的解析式； (2)设矩形的周长为，求的最大值． 变式1-2．某景区平面图如图1所示，为边界上的点.已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离.以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.    求边界所在抛物线的解析式; 如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长.    变式1-3．如图，二次函数的图象交轴于两点，并经过点，已知点坐标是，点坐标是． （1）求二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标及点的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标，若点不存在，请说明理由． 考点02面积定值问题 例2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△PAB＝8，请求出此时P点的坐标． 变式2-1．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标． 变式2-2．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？ 变式2-3．如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为． (1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边长为，求鸡棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示） (2)设鸡棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围 (3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由． 考点03面积最值问题 例3．为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为27m．    (1)若矩形地的面积为，求的长； (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少? 变式3-1．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)当取何值时，四边形的面积为10？ (3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 变式3-2．如图，E、F分别是边长为的正方形的边上的点，，直线交的延长线于G，过线段上的一个动点H作垂足分别为M、N，设，矩形的面积为y．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？ 变式3-3．如图，矩形的两边长，，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间_____秒时，的面积最大，最大值为_____．    考点04面积数量关系问题 例4．如图①，正方形与正方形的中心P、Q都在直线上，，，，正方形以的速度沿直线