专题22.8 二次函数与一元二次方程（七大考点）-2023-2024学年九年级数学上册考点剖析及精准练习（人教版）

专题22.8二次函数与一元二次方程 1.知道二次函数与一元二次方程之间的关系； 2.二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数之间的关系； 3.学会利用二次函数的图象解简单不等式； 4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 一、二次函数图象与x轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 二、抛物线与直线的交点问题 抛物线与轴的交点是． 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 三、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： （1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的值． （4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 四、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当时，设抛物线与轴的两个交点为，，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 五、二次函数与一元二次不等式 函数图象 不等式 解集 或 或 考点01抛物线与x轴的交点情况 例1．抛物线和轴有公共点，则的取值范围是_____． 变式1-1．二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．， B． C． D．时，不等式一定成立 变式1-2．函数的图象如下图所示，则关于x的方程的解为_____．    变式1-3．若二次函数的图象和x轴有交点，则a的取值范围为_____． 考点02已知二次函数的函数值求自变量 例2．已知函数，当_____时，函数值等于5． 变式2-1．二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为_____ ． 变式2-2．点，在二次函数的图象上，求，的值． 变式2-3．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求m的值． 考点03图象法确定一元二次方程的近似根 例3．如下表给出了二次函数中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到0.1）为（    ） x …… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 …… y …… 0.24 0.89 1.56 …… A． B．2.2 C． D． 变式3-1．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．根据表格中的对应值，判断方程 （，a，b，c为常数）的一个解的范围是 （　　） A． B． C． D． 变式3-3．根据如下表格对应值：判断关于x的方程的解x的范围是 _____． x 0 1 2 2 1 2 考点04求x轴与抛物线的截线长 例4．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 变式4-1．如图，抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点，点，则的长度为_____． 变式4-2．已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 变式4-3．已知抛物线，若抛物线与轴的两个交点为A，，求线段的长． 考点05图象法解一元二次不等式 例5．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 变式5-1．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_____．    变式5-2．已知抛物线且经过点、． (1)求抛物线的解析式： (2)直接写出不等式的解集． 变式5-3．画出函数的图象，利用图象回答： (1)方程的解是什么？ (2)取什么值时，函数值大于0； (3)取什么值时，函数值小于0． 考点06利用不等式求自变量或函数值