专题7.3 等比数列及其前n项和（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题7.3 等比数列及其前n项和 【核心素养】 1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养． 2．结合具体问题的计算，考查等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养． 3．与实际应用问题、数学文化相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养． 知识点一 等比数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零） 知识点二 等比数列的通项公式 . 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 知识点三 等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 知识点四 等比数列的前和的求和公式 一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）. 说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况. 知识点五 等比数列的性质 （1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； （2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等比数列中，对任意，，； （4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. （5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列. 如下图所示： . （6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列． （7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列． （8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （9）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 知识点六 等差数列与等比数列的区别与联系 (1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． (2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． (3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． (4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 常考题型剖析 题型一：等比数列基本量的运算 【典例分析】 例1-1.（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 例1-2.（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【规律方法】 1.等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)． (2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论． 2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 【变式训练】 变式1-1.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 变式1-2.（2020·全国·高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 题型二：等比数列的判定与证明 例2-1.【多选题】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）设数列，都是等比数列，则（    ） A．若，则数列也是等比数列 B．若，则数列也是等比数列 C．若的前项和为，则也成等比数列 D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列 例2-2.（2019·全国·高考真题（理））已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 【规律方法】 等比数列的判定方法 (1