2.1.1 直线的倾斜角与斜率-2023-2024学年高二数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1 直线的倾斜角与斜率 1.初步了解解析几何的产生及其意义,初步认识坐标法思想. 2.经历直线的倾斜角和斜率概念的抽象过程,理解直线的倾斜角和斜率的概念,发展数学抽象素养. 3.通过斜率公式的推导,掌握过两点的直线的斜率公式,提升逻辑推理、直观想象素养. 情境:如图,在平面直角坐标系中,直线l经过点P. 【思考】 (1) 直线l的位置能确定吗? (2)过点P的直线有多少条? (3)问题(2)中所指的所有直线有什么区别? 知识点一 直线的倾斜角 （1）倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.如图,直线l的倾斜角是α,为锐角;直线l'的倾斜角是α',为钝角. (2)倾斜角的范围:直线的倾斜角α的取值范围是 ,规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 . 倾斜角的定义中含有三个条件: ①x轴正向;②直线向上的方向;③小于180°的非负角. 【思考】 任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗? 【探究】设直线 l的倾斜角为α. ①直线l经过点O(0,0),P(1,2); ②直线l经过点A(1,0),B(-1,2). 【思考】 (1) 对于情境中的①②,直线l的倾斜角α相同吗? (2)对于情境中的①②,直线l的倾斜角α与直线l经过的两点的坐标有怎样的关系? 知识点二 直线的斜率 1、把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= .  2.直线的斜率与倾斜角的对应关系 图象 倾斜角(范围) 斜率 (范围) α=0° k=0 0°<α<90° k>0 α=90° 不存在 90°<α<180° k<0 3.过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式: . 直线斜率与直线倾斜程度的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当0°≤α<90°时,斜率越大,直线的倾斜程度越大;当90°<α<180°时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大. 1.若直线l经过点A(0,-1),B(1,1),则直线l的斜率是(　　) A.2 B.-2 C. D.- 2.若直线l的倾斜角为α,则与直线l关于x轴对称的直线的倾斜角为 (　　) A.α B.90°-α C.180°-α D.90°+α 考点一 　直线的倾斜角 【例1】(1)若直线l的倾斜角为θ-25°,则 (　　) A.25°≤θ<155° B.-25°≤θ<155° C.0°≤θ<180° D.25°≤θ<205° (2)若直线l经过第二、三、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°≤α<180° 【对点演练】若直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正向所成的角为α(0°<α<90°),则直线l的倾斜角为 (　　) A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 考点二 直线的斜率 例2已知直线过，两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】（2023·全国高二课时练习）如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（ ） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【对点演练2】若一条直线经过点A(1,2)和点B(a,3),且倾斜角为90°,则a的值为 【对点演练3】若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值． 考点三 倾斜角与斜率的关系 例3(多选)下列四个命题中错误的有(　　) A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线倾斜角的取值范围是[0，π) C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 例4若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ） A． B． C．或 D．或 【对点演练1】过点)与点)的直线的倾斜角为（ ） A． B． C．或 D． 【对点演练2】直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点四 直线与线段相交求斜率范围 例5已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（