1.1.2 空间向量的数量积运算（考点梳理+题型归纳+双基达标+高分突破）-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

6学科 学种网票创，让学贝更容易！ co JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1.1.2空间向量的数量积运算 【考点梳理】 考点一：空间向量的夹角 1,定义：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作(a, b). 6 O b B 2.范围：0≤(a,b)≤元，当(a,b》=元2时，a⊥b 考点二：空间向量的数量积 已知两个非零向量a,b,则alblcos〈a,b)叫做a,b的数量积，记作a- 定义 即ab=allblcos(a,b》. 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 ①a⊥beab=0 性质 ②aa=a2=la2 ①(ia)b=ab),1eR 运算律 ②ab=ba(交换律). ③a(b+c)=ab+ac(分配律) 考点三：向量a的投影 1,如图()，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而 利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c,c=acos(a,b)bbl,向量c称为向量a在向量b上的投影 向量.类似地，可以将向量a向直线1投影（如图(2）). 2.如图(3)，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A',B', 得到 ,向量 称为向量a在平面B上的投影向量.这时，向量a, 的夹角就是向量a所在直 线与平面所成的角. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网票创，让学贝更容易！ WW.ZXXK.CON JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【题型归纳】 题型一：空间向量的数量积的运算 1.(2022秋高二课时练习)设ā、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①r=1a,@-吾@(a-可°=.：0a-可2=-2石.6+5 其中正确的个数为() A,1 B,2 C.3 D.4 2.(2022秋全国高二专题练习)已知在平行六面体ABCD一ABCD,中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1， 且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC,的长为()， A.6 B./6 C.3 D.v3 3.(2022秋河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习)己知=4，空间向量为单位向量， (位，司=？，则空间向量在向量方向上的投影的数量为() A.2 B.-2 C.- D. 题型二：求空间向量的数量积 4.(2023全国高二专题练习)在三棱锥0-ABC中，∠A0B=∠A0C=∠B0C=60°，0B=0C=20A=2,E为0C的 中点，则AE.BC等于() A.-1 B.0 C.1 D.3 5.(2023全国高二专题练习)已知d,b,均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90°，那么a-26+3=() A.2 B.V13 C.14 D.6 6,(2023全国高二专题练习)如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以项点A为端点的三条棱长都为1， 且两两夹角为60°，求BD1·AC的值是() 2 人原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网票创，让学贝更容易！ WW.ZXXK.CON JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 D A.-1 B.1 C.v2 D.3 题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模） 7.(2023秋·全国·高二期中)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D的底面ABCD是矩形，其中AB=2,AD=4, AA1=3,且∠A1AD=∠A1AB=60°，则线段AC的长为() D B B A.9 B.√29 C.V47 D.4v3 8.(2023全国高二专题练习)已知单位向量d,i,神，d16,(位，=(6)=60°，则ā-i+2-() A.5 B.5 C.6 D.v6 9.(2023全国高二专题练习)如图，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，AB=2,AD=2,AA1=2, ∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90,则BC1与CA1所成角的余弦值为() 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 学种网票创，让学贝更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A1 B A.- 6 B.号 D.9 题型四：空间向量的数量积的综合 10.(2023秋全国·高二随堂练习)已知正四面体0-ABC的棱长为1，如图所示，求： B (1)0A.0B:(2)0A+0B)·(CA+CB):(3)0A+0B+0C|. 11.(2024秋高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC一A1B1C中，E,F,G,分别为A1B,CC1,BB1的中点，分 别记AB,AC,AA为d,b, (I)用d,b,c表示EF,EG: (2)若AB=AC=AA1=2,AB⊥AC,求EF+2EG 12.(2022