专题02 第二章 整式的加减（优质类型，10大类型）-2023-2024学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题02第二章 整式的加减 【专题过关】 类型一、代数式的新定义 【解惑】定义新运算：a和b对于任意有理数，都有， 如：， 求： (1) (2) 【融会贯通】 1．（2021秋·福建福州·七年级校考阶段练习）根据乘方的定义，可得，，． (1)试计算的值（写成幂的形式）； (2)请你猜想：当m、n位正整数时， （只表示出结果）； (3)利用（2）中的结论计算（写成幂的形式）． 2．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）定义：如果代数式（为常数）与（为常数）， 满足，则称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的相关式； (2)若与互为“相关式”，求的值． 3．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）定义：已知，为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”， 叫做关于的“友好值”．例如：，，，则称是的“友好式”， 关于的“友好值”为5． (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请证明并求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”为求，的值． 4．（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与，因为，所以与互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数，，，，…，．当时，求的值． 5．（2023秋·全国·七年级专题练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 类型二、代数式中的归纳 【解惑】观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： （1）请猜想____＝ ______； （2）请猜想_________； （3）请用上述规律计算：的值； （4）请用上述规律计算： ______（直接写答案）. 、【融会贯通】 1．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得： ． 观察发现 ________；__________． 初步应用 利用（1）的结论，解决以下问题： ①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即_______； ②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即_______； 深入探究 定义“ ”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是_________． 拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记4个数的和为；第三次将四个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为；……，如此进行了n次． ①__________（用含有k,n的代数式表示）； ②若4420，求的值． 2．（2017秋·江苏泰州·七年级周测）我们知道，，，…… (1)猜想：13+23+33+…+(n－1) 3+n3=×(    ) 2×(    ) 2． (2)计算：①13+23+33+…+993+1003； ②23+43+63+…+983+1003． 3．（2023·全国·七年级假期作业）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 4．（2023秋·贵州安顺·七年级校联考期末）阅读理解题． 我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ；           观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想出 （用表示）． (2)依规律，直接求的值为 ． (3)依规律，的值． (4)依规律，求的值． 5．（2022秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）仔细观察下列等式： 第一个：第二个：第三个： 第四个：…… (1)请你写出第