2.1 等式性质与不等式性质（讲+练，五大题型）-【划重点】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.1等式性质与不等式性质 知识点一 等式与不等式 1.等式:用等号表示相等关系的式子叫做等式. 2.不等式:用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式. 用“＜”或“＞”连接的不等式叫严格不等式. 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式. 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 性质1 对称性 a＞b ⇔ b＜a 性质2 传递性 a＞b，b＞c ⇔ a＞c 性质3 可加性 a＞b ⇔ a+c＞b+c 性质4 可乘性 性质5 同向可加性 性质6 同向可乘性 性质7 可乘方性 性质8 可开方性 1、 除了性质1和性质3可逆，其他性质都不可逆，理解不等式性质成立条件以及是否可逆是掌握不等式性质的关键. 2、 性质6要求两个不等式同向且都大于0，否则不成立. 3、 注意性质7和性质8中的取值要求，以性质7为例，若取，与性质7不符. 知识点三 实数大小的比较方法 1.作差法：关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： a＞b ⇔ a-b＞-0； a = b ⇔ a-b=0； a＜b ⇔ a-b＜0. 得到作差法：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 2.作商法：，若，则有；若，则有. ，若，则有；若，则有. 要比较两个实数的大小，在同号的前提下，可以转化为比较它们的商与1的大小. 3.取中间变量法和构造函数法后续会讲到. 1、 做差法比较两个式子大小时，差的式子因式分解得越彻底越好. 2、 作商法比较大小时，要求两数（式子）同号，该方法在乘积式、指数式的大小比较中运用比较广泛. 题型一 不等式性质的应用 例1、（多选）若，则下列说法一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例2、（多选）下列四个命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式训练1、（多选）若且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练2、已知，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型二 作差法比较代数式大小 例1、甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（    ） A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定 例2、（多选）下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，且，则的最小值为4 变式训练1、，和同时成立的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 变式训练2、（多选）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 题型三 作商法比较代数式大小 例1、比较与的大小. 例2、设，比较与的大小 变式训练1、已知，试比较和的大小. 变式训练2、（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 题型四 用不等式性质证明不等式 例1、（1）已知，求证：； （2）若.求证：. 例2、已知三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，能组成哪几个正确的不等式？ 题型五 利用不等式求取值范围 例1、已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2、已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度的取值区间为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 变式训练1、11．已知，，则的范围是 . 变式训练2、（1）已知，．求和的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 一、单选题 1．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，不能判断其符号的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式的解集是，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 8．如果，那么下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 9．已知：，则下列命题中必成立的有 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. 10．比大小： ． 11．已知，则的取值范围是