专题04 用导数研究函数的最值-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题4 用导数研究函数的最值 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现. 二、解题秘籍 (一) 求函数在闭区间上的最值 一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值． 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值． 【例1】（2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底）已知函数． (1)求的图像在点处的切线方程； (2)求在上的值域． 【解析】 (1)因为，所以，所以，， 故所求切线方程为，即． (2)由（1）知，． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 又，， 所以，即在上的值域为． (二) 求函数在非闭区间上的最值 求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值. 【例2】（2024届云南师范大学附中高三适应性月考）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)若在上恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以， 当时，，当时，， 故而在上单调递减，在上单调递增； 所以的最小值为 （2）在上恒成立等价于：恒成立， 即，在恒成立， 令，由（1）知：上面不等式等价于： ，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 令 所以. 又令，且， 而，即在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递减； 当时，，即，所以在上单调递增； 所以在上的最小值为， 所以 (三) 含单参数的函数的最值问题 含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论． 【例3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求在上的最大值． 【解析】（1）解：函数的定义域为，则. 当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间； 当时，由，可得，由，可得. 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. （2）解：由（1）知，当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，. 综上所述，. (四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题 有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解. 【例4】（2024届浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）高三上学期第一次联考）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)求证：当时， 【解析】（1）解：当时，，， 由，可得，由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）解：当时，因为，则， 由，可得，由，可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，下证：，即证：． 记，， 当时，，当时，， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，所以恒成立，即． (五) 含双参数的函数的最值问题 含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解． 【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若，求b的最小值． 【解析】 (1)当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增. (2)当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为 (六) 根据恒成立,求整数a的最大值 根据恒成立,求整数a的最大值,通常情况是有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的最大值. 【例6】（2023届江西省临川第一中学高三上学期期中）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性， (2)若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：） 【解析】（1）由可得. 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令得，所以在单调递减，在单调递增； 综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）