专题3.2 等边三角形重难点题型归纳-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题3.2 等边三角形重难点题型归纳 【题型1 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【题型2 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型3 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【典例1】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【变式2-1】如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． （1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由． （2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？ 【变式1-2】如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE． （1）△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由． （2）试说明AE∥BC的理由． （3）如图（2），将（1）中的点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形．请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． （4）将（1）中的点D运动到边AB的延长线上，仍向上作等边△EDC，连接AE．请按要求画出图形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． 【题型2 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【典例2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC； 【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； （2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【变式2-1】如图，等边三角形ABC中，点E是BC上一定点，点D是射线AC上一动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接CF． （1）如图1，点D与点A重合，直接写出线段CD、CE、CF之间的数量关系 　 　． （2）如图2，点D在AC边上，求证：CD+CF＝CE． （3）如图3，点D在边AC的延长线上，请探究线段CD、CE、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE＝CF+CD； （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 【变式2-3】如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE； （2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD； （3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【题型3 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【典例3】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿着射线AB移动，点E从点B出发沿着射线BG移动，点D、E同时出发并且移动速度相同，连接CD、DE． （1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，DE与DC的长度关系是：DE　　DC． （2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，探究DE与DC之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC的度数． 【变式3-1】如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）求证：PD＝DQ； （2）若△ABC的边长为1，求DE的长． 【变式3-2】如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为