1.4 充分条件与必要条件（五大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

1．4 充分条件与必要条件 【题型归纳目录】 题型一：充分条件与必要条件的判断 题型二：根据充分条件求参数取值范围 题型三：根据必要条件求参数取值范围 题型四：根据充要条件求参数取值范围 题型五：充要条件的证明 【知识点梳理】 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【典型例题】 题型一：充分条件与必要条件的判断 例1．（2023·高一课时练习）设，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·高一课时练习）“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 例3．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 变式1．（2023·全国·高一专题练习）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·高一课时练习）=的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）下列“若,则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ①若是偶数,则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 变式4．（2023·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是 A． B． C． D． 变式5．（2023·江西·高一宁冈中学校考期末）已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式6．（多选题）（2023·湖北武汉·高一校考期中）已知p，q都是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 【方法技巧与总结】 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 题型二：根据充分条件求参数取值