1.3 集合的基本运算（六大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

1．3 集合的基本运算 【题型归纳目录】 题型一：集合的交集运算 题型二：并集运算 题型三：补集运算 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【知识点梳理】 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 4、集合基本运算的一些结论 ， 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 【典型例题】 题型一：集合的交集运算 例1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则＝（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·四川成都·高一统考期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·浙江台州·高一校联考期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（2023·江苏南京·高一校考阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）设集合，，（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 题型二：并集运算 例4．（2023·新疆和田·高一统考期中）已知集合，，则 . 例5．（2023·全国·高一专题练习）已知集合}，，则 ． 例6．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）已知集合，则 . 变式5．（2023·安徽阜阳·高一校考阶段练习）已知集合，，若，则 ． 变式6．（2023·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，集合，则 ． 变式7．（2023·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知集合，则 . 变式8．（2023·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）已知集合，或，则 ． 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析