1.2 集合间的基本关系（七大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

1．2 集合间的基本关系 【题型归纳目录】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 题型二：韦恩图及其应用 题型三：由集合间的关系求参数的范围 题型四：集合间的基本关系 题型五：判断两集合是否相等 题型六：根据两集合相等求参数 题型七：空集的性质 【知识点梳理】 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 【典型例题】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 例1．（2023·全国·高一课堂例题）集合的所有子集的元素的和等于 ． 例2．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）满足的集合的个数为 ． 例3．（2023·全国·高一假期作业）集合，则集合的子集的个数为 . 变式1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 个. 变式2．（2023·全国·高一课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ． 变式3．（2023·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集. 变式4．（2023·高一单元测试）已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. 变式5．（2023·高一课时练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 （分类讨论是写出所有子集的方法） 1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 2、若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 题型二：韦恩图及其应用 例4．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 例5．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 例6．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　) ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U. A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 【方法技巧与总结】 Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 例7．（2023·山西运城·高二校考阶段练习）若集合，且，则实数a取值的集合为 例8．（2023·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为 ． 例9．（2023·上海·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是 ． 变式7．（2023·高一课时练习）已知集合，，若,求实数m的取值范围． 变式8．（2023·高一课时练习）设集合，，已知，求实数的取值范围． 变式9．（2023·全国·高一假期作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 变式10．（2023·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 （根据集合之间关系，求参数的值或范围） 1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． 2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠