第六章 第五节 数列的综合应用（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　数列的综合应用 课程标准 1.会解等差、等比数列的综合问题. 2.能在具体的问题情境中识别等差或等比数列. 3.能用相关知识解决数列与其他知识的交汇问题. 命题视角一　等差、等比数列的综合问题 [典例]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． [解]　(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. (2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000， 所以k＝2,3,4，…，10，共9个数， 即集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3，4，…，10}中元素的个数为9. [方法技巧]　等差、等比数列的综合问题的解题技巧 将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论． [针对训练] (2022·滨州一模)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n. (2)由(1)bn＝2n＝2·2n－1＝a，即bn是数列{an}中的第2n－1项．设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn，因为b7＝a＝a64，b8＝a＝a128，所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的，所以S100＝P107－Q7＝－＝11 302. 命题视角二　数列与不等式的综合问题 [典例]　(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q. ∵a1,3a2,9a3成等差数列， ∴6a2＝a1＋9a3，即6q＝1＋9q2，解得q＝. ∴an＝n－1，∴bn＝＝nn. (2)证明：由(1)得，Sn＝＝＝＝－×n－1.Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋nn　①，则Tn＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋nn＋1　②.①－②，得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－nn＋1＝－nn＋1＝－×n，∴Tn＝－×n.∵＝－×n－1＝－×n，由Tn－＝－×n－＋×n＝－＜0，∴Tn＜成立． [方法技巧] 数列与不等式的交汇问题 (1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不等式． (2)放缩法：数列中的不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到． (3)比较法：作差或者作商进行比较．　　 [针对训练] 已知正项数列{an}满足a1＝2，an＋1＋an＝1＋(n∈N*)． (1)求{an}的通项an； (2)设Sn为数列的前n项和，证明：≤S＜n. 解：(1)由题意可知a－a＝an＋1－an＋2(n＋1)，a－an＋1－(n＋1)(n＋2)＝a－an－n(n＋1)，即{a－an－n(n＋1)}为常数列，因为a－a1－2＝0，所以a－an－n(n＋1)＝0，从而(an＋n)·(an－n－1)＝0，又因为an＞0，所以an＝n＋1. 命题视角三　公共项问题 将数列{an}与{bn}看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项． [典例]　(1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列