第三章 第二节 第2课时 中档题目保住分(一) 导数与函数的单调性（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　中档题目保住分(一)　导数与函数的单调性 命题视角一　利用导数求函数的单调区间 [典例]　已知函数f(x)＝aln x＋＋bx，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋1＝0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间． [解]　(1)∵f(x)＝aln x＋＋bx，∴f′(x)＝－＋b＝(x＞0)，∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴即解得 (2)由(1)知f(x)＝ln x＋＋2x，∴f′(x)＝＝(x＞0)，由f′(x)＞0，得x＞，∴函数y＝f(x)的单调递增区间是；由f′(x)＜0，得0＜x＜，∴函数y＝f(x)的单调递减区间是.故f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是. [方法技巧] 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．　　 [针对训练] 　已知函数f(x)＝，求函数f(x)的单调区间． 解：∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝. 设h(x)＝－ln x－1，则h′(x)＝－－＜0. ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，∴f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<0，∴f′(x)<0. 因此，f(x)的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)． 命题视角二　利用导数讨论或证明函数的单调性 [典例]　(2021·全国乙卷·节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.讨论f(x)的单调性． [解]　由f(x)＝x3－x2＋ax＋1，得f′(x)＝3x2－2x＋a. 当Δ＝4－12a≤0，即a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增． 当Δ＝4－12a>0，即a<时， 令f′(x)＝0，得x1＝， x2＝. ∴当x∈时， f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时， f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈时， f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上所述，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a<时，f(x)在－∞，，，＋∞上单调递增， 在，上单调递减． [方法技巧] 解决含参数的函数的单调性问题的注意点 (1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．　　 [针对训练] 已知函数f(x)＝aln x＋x2＋ax，a∈R，讨论f(x)在定义域内的单调性． 解：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝＋2x＋a＝， ①当a≥0时，2x2＋ax＋a>0， 即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a<0时，令2x2＋ax＋a＝0，则Δ＝a2－8a＝a(a－8)>0，则x1＝<0(舍去)，x2＝>0，所以0<x<时，f′(x)<0，x>时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递减， 在上单调递增． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 命题视角三　函数单调性的应用 考法(一)　利用导数解不等式　 [例1]　已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为________． [解析]　∵f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R，∴f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时取等号， ∴f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)， 即2x－3>0，解得x>，∴原不等式的解集为. [答案]　 [方法技巧] 利用导数解不等式的关键，是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后使用导数．同时根据奇偶性变换不等式为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围．　　 考法(二)　利用导数比较大小　 [例2]　(1)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　 ) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) (2)(2023·广州一模)设a＝1113，b＝1212，c＝1311，则(　 ) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b [解析]　(1)因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin