第三章 第二节 第3课时 中档题目保住分(二) 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时　中档题目保住分(二)　导数与函数的极值、最值 命题视角一　求函数的极值点个数或极值 [典例]　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． [解]　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  ln 2－1  故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝(x>0)． 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0， 故函数在x＝处有极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. [方法技巧] (1)导数为零的点不一定是极值点．在求得导函数的零点后，要利用导函数零点左、右的导函数符号来确定极值点． (2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小． (3)对于涉及极值点的不等式证明问题，一般要进一步构造函数并借助导数研究函数的单调性，进而借助不等式去解决．　　 [针对训练] 1．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　 ) A．[0,1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞) C．[0,2] D．(－∞，0)∪[2，＋∞) 解析：选C　由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1， 根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，解得0≤a≤2. 2．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； (2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex， 所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex. 所以f′(1)＝(1－a)e. 由题设知f′(1)＝0， 即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此时f(1)＝3e≠0. 所以a的值为1. (2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex. 若a>，则当x∈时，f′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在x＝2处取得极小值． 若a≤，则当x∈(0,2)时， x－2<0，ax－1≤x－1<0， 所以f′(x)>0. 所以2不是f(x)的极小值点． 综上，a的取值范围是. 命题视角二　利用导数研究函数的最值 [典例]　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线l与直线3x－y＝0平行，求切线l的方程； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值． [解]　(1)f′(x)＝3x2－2ax. 因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0， 又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3， 则切点坐标为(1,1)，斜率为3， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简得3x－y－2＝0. (2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝， 当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)min＝f(0)＝0； 当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)min＝f(2)＝8－4a； 当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 从而f(x)min＝f＝－＝－. 综上所述，f(x)min＝ [方法技巧] 求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路 (1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． [提醒]　求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，然后借助图象观察得到函数的最值．　　 [针对