第三章 第二节 第4课时 难点专攻夺高分(一) 导数在不等式中的应用（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第4课时　难点专攻夺高分(一)　导数在不等式中的应用 命题视角一　利用导数证明不等式 考法(一)　作差法构造函数证明不等式　 [例1]　已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)． [解]　(1)因为f(x)＝ax＋xln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1，因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值，所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0，所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2.当f′(x)>0时，x>e－2；当f′(x)<0时，0<x<e－2，所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋xln x．令g(x)＝f(x)－3(x－1)，即g(x)＝xln x－2x＋3(x>0)．g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e.由g′(x)>0，得x>e；由g′(x)<0，得0<x<e.所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0.于是在(1，＋∞)上，都有g(x)≥g(e)>0，所以f(x)>3(x－1)． 证明形如A(x)＞B(x)的不等式的关键点 (1)构造新函数h(x)＝A(x)－B(x)； (2)求h′(x)＝A′(x)－B′(x)； (3)研究函数h(x)的单调性、极值、图象等(无法进行时，继续求导，研究h′(x)的单调性、极值、图象等，仍然无法进行时，继续求导研究)； (4)通过研究导数的性质，获得h(x)的性质，进而实现证明不等式A(x)＞B(x)的目标．　　 考法(二)　拆分法构造函数证明不等式　 [例2]　设函数f(x)＝ax2－(x＋1)ln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0. (1)求a的值； (2)求证：当0<x≤2时，f(x)>x. [解]　(1)f′(x)＝2ax－ln x－1－，由题意，得f′(1)＝2a－2＝0，所以a＝1. (2)证明：由(1)得f(x)＝x2－(x＋1)ln x，要证当0<x≤2时，f(x)>x，只需证当0<x≤2时，x－－ln x>，即x－ln x>＋.令g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋，令g′(x)＝1－＝0，得x＝1，易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故当0<x≤2时，g(x)min＝g(1)＝1.因为h′(x)＝，当0<x≤2时，h′(x)>0，所以h(x)在(0,2]上单调递增，故当0<x≤2时，h(x)max＝h(2)＝<1，即h(x)max<g(x)min.故当0<x≤2时，h(x)<g(x)，即当0<x≤2时，f(x)>x. 对于一些不等式可转化为f(x)≥g(x)的形式，证明f(x)min≥g(x)max即可，在转化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．　　 考法(三)　特征分析放缩法证明不等式　 [例3]　已知函数f(x)＝ax2－2ln x(a∈R)． (1)若f(2)是f(x)的极值，求a的值． (2)若f′(1)≥0，求证：当x∈(0,2)时，a－－＞0恒成立． [解]　(1)f′(x)＝2ax－，易知f′(2)＝4a－1＝0，解得a＝.又当a＝时，f′(x)＝x－＝，满足f(2)是f(x)的极值．故a＝. (2)证明：f′(x)＝2ax－，若f′(1)＝2a－2≥0，则a≥1.所以a－－≥－－＝＝，令h(x)＝x2＋2x＋2－2ex,0＜x＜2，则h′(x)＝2x＋2－2ex＝2(x＋1－ex)，令φ(x)＝x＋1－ex，则当x＞0时，φ′(x)＝1－ex＜0，φ(x)单调递减，φ(x)＜φ(0)＝0，所以h(x)单调递减，h(x)＜h(0)＝0，即x2＋2x＋2－2ex＜0，所以当0＜x＜2时，＞0，故当x∈(0,2)时，a－－＞0恒成立． 导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下： (1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； (2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号； (3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2，当且仅当x＝0时取等号； (4)当x≥0时，ex≥x2＋1，当且仅当x＝0时取等号； (5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号； (6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．　　 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x