第四章 第三节 三角恒等变换（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　三角恒等变换 课程标准 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． [由教材回扣基础] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) [提醒]　在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2．二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3．辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ). (1)公式的常用变式 (2)降幂公式 sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α. (3)升幂公式 (4)常用拆角、拼角技巧 [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　 ) (2)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　 ) (3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　 ) (4)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　 ) (5)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中，φ的取值与a，b的值无关．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 二、练牢教材小题 1．(人教A版必修④P129例3改编)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　 ) A. B．7 C．－ D．－7 答案：A 2．(新人教A版必修①P229T12改编)sin－cos的值为(　 ) A．0 B．－ C．2 D． 3．(人教B版必修④P147习题T1改编)已知cos θ＝，且270°＜θ＜360°，则sin＝__________，cos＝__________. 解析：因为270°＜θ＜360°，所以135°＜＜180°，所以sin＝＝＝，cos＝－＝－. 答案：　－ 三、练清易错易混 1．(不会逆用公式致错)化简：＝________. 解析：原式＝ ＝＝＝. 答案： 2．(不会缩小角的范围导致增解)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β的值为________． 解析：∵tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，∴tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，∴tan(α＋β)＝＝＝.又tan α＋tan β＜0，tan αtan β＞0，∴tan α＜0，tan β ＜0，∵α，β∈，∴α，β∈，∴π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 答案： 命题视角一　公式的基本应用(自主练通) 1．已知点P(1,2)是角α终边上一点，则cos等于(　 ) A. B． C．－ D． 解析：选A　由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝，故选A. 2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　 ) A．－ B． C. D．－ 解析：选A　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－. 3．(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B. 4．已知sin(β－α)cos β－cos(α－β)s