第6章 第5节 数列的综合问题(习题课)（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第五节　数列的综合问题(习题课) 考法一　等差、等比数列的综合问题 [典例]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． [解]　(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. (2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9. [方法技巧] 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想、通项公式和前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论． (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇔{aan}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇔{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列．　　 [针对训练] 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以Tn＝＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4　①. 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16　②. 联立①②解得a1＝1，d＝1，故an＝n， 所以Sn＝. (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn ＝(21＋22＋…＋2n)－n ＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn， 可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)． 所以n的值为4. 考法二　数列的实际应用问题 [典例]　已知某新型水稻产量的年增长率为r(0<r<1)．某粮食种植基地计划种植该品种水稻．已知该基地2022年储有该品种水稻的产量为15万吨．现计划从下一年(2023年)起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空种植并更换种植品种．设n年后该品种水稻的剩余产量为an万吨． (1)设每年用于销售的产量为m万吨，请用m和r表示an； (2)求m(用r表示)． [解]　(1)由题设可得an＝an－1(1＋r)－m，且a1＝15(1＋r)－m， 故an－＝(1＋r)， 故an－＝(1＋r)＝(1＋r)2·＝…＝(1＋r)n－1， 故an＝(1＋r)n－1＋＝(1＋r)n－1·＋， 而a1＝15＋15r－m符合该式， 故an＝(1＋r)n－1·＋，1≤n≤15. (2)由(1)可得an＝(1＋r)n－115＋15r－m－＋， 因为15年后清空种植并更换种植品种，故a15＝0， 所以(1＋r)14＋＝0，故m＝. [方法技巧]　数列在实际应用中的常见模型 等差模型 如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 递推数列 模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第(n＋1)项an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和Sn与前(n＋1)项和Sn＋1之间的递推关系 [针对训练] 一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？ 解：购买当天付了150元，欠款1