第4章 第3节 第2课时 三角恒等变换（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第2课时　三角恒等变换 基础点(一)　三角函数式的化简求值　 [题点全训] 1．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　因为tan 2α＝＝，所以cos α－＝2(2－sin α)，即＝，所以sin α＝.又α∈，所以cos α＝，所以tan α＝.故选A. 2．化简：＝________. 解析：原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. 答案：cos 2x 3．已知cos 2θ＝，<θ<π. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解：(1)∵cos 2θ＝，<θ<π，且cos 2θ＝2cos2θ－1，∴cos2θ＝， 又cos θ<0，∴cos θ＝－， ∴sin θ＝，tan θ＝－. (2)＝＝2. [一“点”就过] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 基础点(二)　给角求值　 [题点全训] 1.cos 285°－sin 285°的值为(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选B　cos 285°－sin 285°＝2(cos 30°cos 285°－sin 30°sin 285°)＝2cos(30°＋285°)＝2cos 315°＝2cos(360°－45°)＝2cos 45°＝，故选B. 2．计算：·＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选C　因为 ＝ ＝ ＝＝＝， 所以原式＝. 3．计算＝________. 解析：原式＝ ＝＝ ＝＝2. 答案：2 [一“点”就过] 给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系． 其基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：特殊角的三角函数值；正、负相消的项和特殊角的三角函数值；可约分的项和特殊角的三角函数值等． 给值求值 [典例]　已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)＝(　 ) A．－ B. C．－ D. [解析]　因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)＞0，sin(α＋β)＞0， 所以α－β为第四象限角， α＋β为第二象限角， 因此sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－， 所以sin 2α＝sin(α－β＋α＋β) ＝－×＋×＝1. 因为α为锐角，所以2α＝， 所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝，故选B. [答案]　B [方法技巧] 给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子． (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．　　 [针对训练] 1．已知cos＝，α是第一象限角，则cos 2α的值为(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选C　α是第一象限角，α＋是第一或第二象限角，∴sin＝＝.∴cos 2α＝cos＝sin＝2sincos＝2××＝. 2．若sin α＝－，α是第三象限角，则＝(　 ) A．－2 B．2 C．－ D. 解析：选A　∵sin α＝－，α是第三象限角，∴cos α＝－＝－，因此，＝ ＝＝ ＝＝＝－2，故选A. 给值求角 [典例]　已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则2α＋β的值为(　 ) A. B．π C. D. [解析]　∵α，β为锐角，tan α＝， cos(α＋β)＝－， ∴sin α＝，cos α＝，sin(α＋β)＝， ∴cos(2α＋β)＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β) ＝×－×＝－1， 又2α＋β∈，∴2α＋β＝π，故选B. [答案]　B [方法技巧] 给值求角问题的解题策略 给值求角问题可转化为给值求值问题求解，解题步骤如下． (1)求所求角的某一三角函数值，原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好． (2)利用该三角函数值并结合所求角的范围及三角函数的单调性求角．　　 [针对训练] 1．已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则β－α＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，因为sin 2α＝，所以<2α<π，可得<α<，因为π≤β≤，所以<β－α<，<α＋β<2π，所以cos 2α＝－＝－，sin(α＋β)＝－＝－，所以sin(β－α)＝sin[(α＋β)－2α]＝sin(α＋β)cos 2α－cos(α＋β)sin 2α＝－×－×＝，所