第1章 有理数（知识清单+典型例题与变式练习）-【满分全攻略】2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）

第1章 有理数（知识清单+典型例题与变式练习） 【知识导图】 【知识清单】 考点1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 【例1】（2022秋•定远县校级月考）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据有理数的定义解答即可． 【解答】解：﹣2，3.14，，0.1414，是有理数，共4个． 故选：B． 【点评】本题考查的是有理数，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键． 【变式】（2022秋•霍邱县校级月考）在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是（　　） A．﹣ B． C．﹣π D．﹣4 【分析】根据负整数的意义，即可解答． 【解答】解：在﹣，，﹣π，﹣4中，属于负整数的是﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 考点2数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 【例2】（2022秋•定远县校级月考）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：根据数轴得：a＜﹣2， ∴a可以是﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键． 【变式】（2022秋•淮南期末）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x． （1）求线段AB的长． （2）若点B是线段AC的中点，求x的值． 【解答】解：（1）∵数轴上点A，B所表示的数分别是4，﹣6， ∴线段AB的长为|4﹣（﹣6）|＝10； （2）∵点B是线段AC的中点， ∴AB＝BC， ∴4﹣（﹣6）＝﹣6﹣x， 解得x＝﹣16， 答：x的值是﹣16． 考点3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 【例3】（2022秋•宣城期末）若a、b互为相反数，则a﹣（5﹣b）的值为 　 　． 【解答】解：∵a、b互为相反数， ∴a+b＝0， ∴a﹣（5﹣b） ＝a+b﹣5 ＝0﹣5 ＝﹣5． 故答案为：﹣5． 考点4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【例4】（2022秋•崇川区期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（　　） A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5 【分析】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0， 当a＞0、b＞0时，且＝2+3＝5． 当a＞0、b＜0时，且＝2﹣3＝﹣1． 当a＜0、b＞0时，且＝﹣2+3＝1． 当a＜0、b＜0时，且＝﹣2﹣3＝﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握有理数混合运算的方法是正确解答的前提． 【变式1】如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y的值． 【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x、y的值代入代数式化简计算即可． 【答案与解析】 解：∵|x+3|+|y﹣4|=0， ∴x+3=0，y﹣y=0， 解得，x=﹣3，y=4， x+2y=﹣3+4×2=5． 【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键． 【变式2】已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值． 【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x