期中专题02 空间向量与立体几何大题综合（40题）-【百强名校好题】备战2023-2024学年高二数学上学期期中题型分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 备考秘籍 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 5. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 真题训练 一、解答题 1．（2021秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）在如图所示的六面体中，矩形平面，为直角梯形，，，．设为中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 2．（2022秋·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）如图，四棱台中，上底面是边长为1的菱形，下底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD且 (1)求证：平面平面； (2)若直线AB与平面所成角的正弦为，求棱台的体积． 3．（2021秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E，F分别是上的动点，且. (1)求证：平面； (2)若，且与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 4．（2021秋·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）已知正三棱柱的底面边长为2，D是的中点， (1)求三棱柱的体积 (2)求直线与平面所成角的正弦值 5．（2022秋·山东·高二山东省实验中学校考期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为30°，为上一点且． (1)证明：； (2)设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值． 6．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期中）如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点． (1)试用，表示向量； (2)若，，，，，求的值． 7．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考期中）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形 (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 8．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面PAD，，求三棱锥的体积. 9．（2022秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点 (1)若是线段的中点，试证明平面； (2)已知直线与平面所成角为. ①若和的面积分别记为，试求的值； ②求三棱锥的体积. 10．（2021秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）如图，已知为圆锥底面的直径，点在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的余弦值. 11．（2021秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）如图，在四棱锥中，平面平面，． (1)求证：平面； (2)若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值． 12．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，四棱锥中，为等边三角形，平面底面，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 13．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点. (1)求异面直线和所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 14．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）在斜棱柱中，，，． (1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点． (2)点P在棱上一点，若