第07讲 一元二次方程的应用（讲义）-2023-2024学年上海市八年级数学第一学期同步精品讲义（沪教版）

第07讲 一元二次方程的应用 知识点一：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系． 知识点二：在实数范围内对一个二次三项式进行因式分解； 注意：利用“求根公式法”分解二次三项式应注意：1.不要漏写二次项系数；2.当这个二次三项式除了未知数"x"外，还有别的字母时，字母不能遗漏。其分解步骤如下：①令该二次三项式为0，若△≥0，求出该一元二次方程的两根,；②因式分解，写作a(x-x1)(x-x2)。 注意：本题的题干是二次三项式能否在实数范围内因式分解，其解法同“一元二次方程有解”意义相同，要注意的是二次项系数不能为0. 知识点三：一元二次方程的应用题(主要涉及围栏问题和增长率问题）。 类型1：围墙问题 变式1：再围栏上开一扇门分析：对于“开门”问题，由于门宽d不占围栏长度，因此矩形的长度变为C-2x+d，如果开了n扇门，则长度变为C-2x+nd。得到x(C-2x+nd)=S。 类型2：小路问题 分析：对于小路问题，先把小路移到移到一边，不论小路是垂直的还是斜着的，都可以按照上述的方法进行计算。 类型3：增长率问题 分析：对于增长率问题，基本公式为：现在=原来×（1+增长率）^时间，在计算时，需要看清楚是数量是当月的还是某一季度的。 变式1：已知某季度的营业额，求增长率 变式2：求减少/降价率 题型归纳 题型一、一元二次方程根与系数的关系 1．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）若方程有一根是1，则另一根是（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为______． 3．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知方程的一个根为2，求另一个根及的值． 4．（2021秋·上海·八年级校考期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个实数根分别是，那么，． 例如：已知是方程的两个实数根，则，． 请同学们阅读后完成以下问题： (1)已知是方程的两个实数根，求和的值． (2)已知是方程的两个实数根，求的值． (3)已知某一元二次方程的两根为，，二次项系数为2．请写出该方程的表达式． 题型二、传播问题 5．（2022春·上海·八年级专题练习）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 6．（2019秋·上海浦东新·八年级校考阶段练习）某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（  ） A． B． C． D． 7．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． 题型三、增长率问题 8．（2023春·上海·八年级专题练习）某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量． 9．（2023春·上海·八年级专题练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 题型四、动态几何问题 10．（2023春·上海·八年级专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于． 11．（2019秋·上海浦东新·八年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 12．（2017秋·上海·八年级校考期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6