第03讲 二次根式的乘除运算（讲义）-2023-2024学年上海市八年级数学第一学期同步精品讲义（沪教版）

第03讲 二次根式的乘除运算 知识精讲 知识点一：二次根式的计算 1、二次根式的加减运算： 把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）． 2、二次根式的乘除运算： （1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变． 3、根式运算性质 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 注意：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点二：分母有理化 1. 分母有理化： （1） 把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算． （2） 分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号． 2. 有理化因式： （1） 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式． 注意：的有理化因式是，的有理化因式是。 题型归纳 题型一：二次根式加减运算 1．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式性质化简，再结合去括号法则及二次根式混合运算逐步计算，最后合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、去括号法则、二次根式加减乘除运算法则及合并同类二次根式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 2．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）若，，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法对式子变形，然后利用化简 ，注意，，最后加减运算即可． 【详解】解： ，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，属于基础题，熟练掌握二次根式的运算法则以及是解题关键． 3．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质分别进行化简计算即可； 【详解】原式， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质化简是解题的关键． 4．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中） 【答案】 【分析】首先化简二次根式，再合并同类二次根式，计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题的关键． 题型二：二次根式乘法与除法 5．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先判断，化简，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确化简并熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 6．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）_______． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确运用二次根式的除法运算法则是解题关键． 7．（2021秋·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式在实数范围因式分解，第二项先提出公因式，进而约分化简，再进行二次根式的加减运算即可 【详解】 【点睛】本题考查了因式分解，二次根式的加减，将分式的分子因式分解是解题的关键． 8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）先化简再求值：，其中， ． 【答案】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可． 【详解】解：原式 ＝ ， 当， 时： 原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 9．（2022秋·上海·八年级上海交大附中校考期中）计算： 【答案】 【分析】先进行分母有理化，然后进行二次根式的乘除运算即可. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键. 题型三：二次根式混合运算 10．（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）当时，代数式的值是______． 【答案】5 【分析】把已知条件进行分母有理化的运算