专题06 二面角4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题06 二面角4种常见考法归类 1．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． (3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． 注：（1）二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角． （2）找二面角的平面角的方法 ①定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． ②垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角． ③三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致． 2．用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 3.用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． 注：（1）构成二面角的平面角的要素 (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直． （2）二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角关系 条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形 关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ 4.利用坐标法求二面角的步骤 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2． (3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝． (4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ． 提醒：确定平面的法向量是关键． 5.三垂线法求二面角 利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法，这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 步骤： ①作:过二面角的其中一个平上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。 ②证:证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义）。 ③求二面角的面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度） 6．与空间角有关的翻折问题的解法 要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题． 7．关于空间角的探索问题的处理思路 利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用定义法求二面角 考点二 三垂线法求二面角 考点三 用向量法求二面角 考点四 空间中的翻折与探索性问题 考点一 用定义法求二面角 1．（2023春·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）如图所示，是边长为2的等边三角形，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直、等边三角形性质得、，最后应用线面垂直判定定理证结论； （2）由二面角定义确定对应平面角，结合已知求其大小即可. 【详解】（1）平面平面， ． 为等边三角形，为的中点， ． 又，面， 所以平面． （2）平面平面， ，又， 为锐二面角的平面角，又， ． 平面平面， ． ，因此． 即二面角的大小为． 2．（2023春·新疆伊犁·高二校联考期末）如图：已知直三棱柱中，交于点O，，. (1)求证：； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可证平面，进而可得，结合证明平面，即可得结