1.2空间向量基本定理（五大题型）-2023-2024学年高二数学同步教学课件+练习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2空间向量基本定理 题型汇总 题型1：空间向量基本定理的理解 例1.在以下三个命题中，真命题的个数是（    ）. ①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 【变式1-2】已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为 . 题型2：空间向量的正交分解 例2.如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． (1)证明：、、、四点共面． (2)若，求． 【变式2-1】已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，=，=，=，试用基底{，，}表示. 【变式2-2】在正方体中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的值是（ ） A．， B．， C．， D．， 题型3：利用空间向量基本定理解决几何问题 例3.已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)用向量法证明，，，四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 【变式3-1】已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ） A．在平面内 B．在平面内 C．在平面内 D．在平面内 【变式3-2】如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，． （1）是否构成空间的一个基底？ （2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，． 题型4：证明平行和垂直 例4.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证： （1）平面； （2）平面. 【变式4-1】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 【变式4-2】如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD． 【变式4-3】已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. 题型5：求线段长度和两条异面直线所成角 例5.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且． （1）求证：； （2）求EF与C1G所成角的余弦值． 【变式5-1】如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【变式5-2】棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：. (2)求. (3)求FH的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2空间向量基本定理 题型汇总 题型1：空间向量基本定理的理解 例1.在以下三个命题中，真命题的个数是（    ）. ①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量的基底的概念，逐个判断可得答案. 【详解】①正确，作为基底的向量必须不共面； ②正确； ③错误，因为，，共面，所以不能构成基底. 故只有①②正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了空间向量的基底的概念，属于基础题. 【变式1-1】（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 【答案】ABC 【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断 【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线 所以空间五点，，，，共面， 所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误. 故选：ABC 【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题 【变式1-2】已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为 . 【答案】，-1，##2.5，-1，-0.5 【分析】由空间向量基本定理可知必然存在唯一的