1.4空间向量的应用（六大题型）-2023-2024学年高二数学同步教学课件+练习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4空间向量的应用 题型汇总 题型1：空间中点、线、面的向量表示 例1.1．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若两个向量,则平面的一个法向量为 A． B． C． D． 【变式1-2】如图1.4-7在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面当的法向量； （2）求平面的法向量． 【变式1-3】在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 题型2：空间中直线、平面的平行 例2.的方向向量为，的方向向量，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】倒3 如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 【变式2-2】如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 【变式2-3】若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，且α∥β，则y＋z＝ . 【变式2-4】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：（1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 题型3：空间中直线、平面的垂直 例3.如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面． 【变式3-1】设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1,0，－2) B．(1,0,2) C．(－1,0,2) D．(2,0，－1) 【变式3-3】如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点E在线段上（不含端点）. （1）是否存在点E，使平面？ （2）是否存在点E，使平面平面？ 题型4：空间中的距离计算 例4.如图在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点B到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 【变式4-1】如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． 【变式4-2】（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点A到直线的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线的距离为 题型5：空间中的夹角计算 例5如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AD与直线BC所成角的大小； （2）直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 【变式5-1】．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是（    ）． A．AD与BC所成的角为30° B．AC与BD所成的角为90° C．BC与平面ACD所成角的正弦值为 D．平面ABC与平面BCD所成锐二面角的正切值是 题型6：空间向量的综合应用 例6如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【变式6-1】如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【变式6-2】【22年新高考全国1卷】（多选）已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 【变式6-3】【23年新高考全国1卷】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【变式6-4】【21年新高考全国2卷】在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【变式6-5】【22年新高考全国1卷】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4空间向量的应用 题型汇总 题型1：空间中点、线、面的向量表示 例