1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第三课时）-2023-2024学年高二数学同步教学课件+练习（人教A版2019选择性必修第一册）

课时：3课时 章节：第一章 空间向量与立体几何 标题：1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（3） PART 01 新课讲授 1.复习回顾 回顾1 如何用向量表示空间中点、线、面？ 向量 表示 点 位置向量 线 方向向量 面 法向量 基点 空间中距离的问题 两点距 点线距 点的位置向量+直线的单位方向向量 两条平行直线的距离 点面距 点的位置向量+平面的法向量 直线到平面的距离、两个平行平面距离、两条异面直线的距离 回顾2 空间中距离的问题 回顾3 空间中夹角的问题 1.直线与直线所成角 2.直线与平面所成角 , 3.平面与平面所成角 ， 2.空间向量的应用 课堂例题 例9 图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到). 解：如图，设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为. 因为，所以在上的投影向量为. 所以8根绳子拉力的合力 又因为降落伞匀速下落，所以 所以 所以 例10.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 课堂例题 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. (1)证明：连接，交于点，连接. 依题意得. 因为底面是正方形，所以点是它的中心， 故点的坐标为，且，. 所以，即. 而平面，且平面，因此平面. (1)求证：平面； 解：(2)证明：依题意得. 又，故 所以. 由已知，且，所以平面. (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 解：(3)已知，由(2)可知， 故是平面与平面的夹角. 由(2)可知点的坐标为，则. 因为，所以 即.设， 则. 所以，点的坐标为. 又点的坐标为，所以. 所以. 所以，即平面与平面的夹角大小为. 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 方法总结 PART 02 作业巩固 课本P41 练习 课本P41 练习 课本P41 习题1.4 课本P41 习题1.4 课本P41 习题1.4 课本P41 习题1.4 拓广探索 非常感谢您的观看 2.如图，在三棱锥 中， ， ，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值． 【详解】连结 ，取 的中点 ，连结 ， 则 ， 是异面直线 ， 所成的角， ， ， ， 又 ， ， ， 异面直线 ， 所成的角的余弦值为 ． 3.如图，在三棱锥 中，OA，OB，OC两两垂直， ， ．求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 【详解】构建以 为原点， 为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示， ∴ ， ， ，则 ， ， ， 若 是平面ABC的一个法向量，则 ，令 ，则 ， ∴ 故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 . 3.如图，在平行六面体 中，E是AB的中点，F是 的中点．求证： ． 【详解】取 的中点为 ,则根据平行六面体的特征可得 ， ， 所以四边形 为平行四边形，则 , , 又因为 , ,所以 , , 所以四边形 为平行四边形，所以 , 又因为 ,所以四边形 为平行四边形. 所以 ，进而 . 4.如图，在四面体ABCD中， 平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且 ．求证： 平面BCD． 【详解】证明：如图所示，取BD中点O，且P是BM中点， ∴PO//MD且PO MD， 取CD的四等分点H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC， ∴PO//QH且PO＝QH，∴四边形OPQH为平行四边形， ∴PQ//OH，PQ在平面BCD外，且OH⊂平面BCD， ∴PQ//平面BCD． 12.如图，在长方体 中，点E，F，G分别在棱 ， ， 上， ；点P，Q，R分别在棱 ，CD，CB上， ．求证：平面 平面PQR． 【详解】构建以 为原点， 为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示， 设 EMBED Equation.DSMT4 ，又 ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 设 是面 的一个法向量，则 ，令 ， ， 设 是面 的一个法向量，则 ，令 ， ， ∴面 、面 的法向量共线，故平面 平面PQR，得证. 13.如图，已知正方体 的棱长为1，E为CD的中点，求点 到平面 的距离． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 . 设平面 的一个法向量为 ， EMBED Equation.DSMT4 . 由 令 ，则 ，即 . 设点 到平面 的距离为 ， 则 ，即点 到平面 的距离为 . 1