第1章《特殊的平行四边形》 解答题培优专题 2023--2024学年北师大版九年级上册数学

北师大版九年级上册数学《特殊的平行四边形》微专题靶向练习 （解答题培优专题） 菱形专题 1. 已知:如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点F,E是AC的中点,过点A作AD∥BC,交FE的延长线于点D. (1)求证:四边形AFCD是平行四边形; (2)给△ABC添加一个条件,使得四边形AFCD是菱形,请证明你的结论. 2.小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流. ( 小惠 : 证明 : ∵ AC ⊥ BD , OB = OD , ∴ AC 垂直平分 BD. ∴ AB = AD , CB = CD. ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . ) ( 小洁 : 这个题目还缺少条件 , 需要补充一个条件才能证明 . ) 3. 如图,在平行四边形ABCD中,延长AB至点E,使BE=AB,连接BD和CE. (1)求证:△DAB≌△CBE; (2)请你给图中平行四边形ABCD补充适当的条件,使四边形DBEC成为菱形,并结合补充条件给出证明. 4.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明. 某校开展了一次综合实践活动,参加该活动的每个学生持有两张宽为6 cm,长足够的长方形纸条.探究两张纸条叠放在一起,重叠部分的形状和面积.如图1所示,一张纸条水平放置不动,另一张纸条与它形成45°的角,将该纸条从右往左平移. (1)写出在平移过程中,重叠部分可能出现的形状; (2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时. ①求证:四边形ABCD是菱形; ②求菱形ABCD的面积. 　　 5.如图,在菱形ABCD中,AB=40 cm,点M以1 cm/s的速度自A向B运动,点N以相同的速度自B向C运动,在运动过程中,对角线AC上是否存在一点P,使PM+PN的值最小?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由. 6.如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB,垂足为E,OF⊥AD,垂足为F. 　　　 (1)对角线AC的长是　　　　,菱形ABCD的面积是　　　　;  (2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否会发生变化?请说明理由; (3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否会发生变化?若不变,请说明理由;若变化,请探究OE,OF之间的数量关系,并说明理由. 矩形专题 1.如图,在平行四边形ABCD中,AE平分 ∠BAC,CF平分∠ACD. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形?请写出证明过程. 2.如图,线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线. (1)求证:AF与DE互相平分; (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形?请说明理由. 3. 如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.连接AE,BF. (1)试猜想AE与BF有何关系,并说明理由; (2)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形?说明理由. 4．如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=6 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止,同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P、Q的速度都是1 cm/s,连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t s. (1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形? (2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形? (3)直接写出(2)中菱形AQCP的周长和面积,周长是　　　cm,面积 是　　　cm2.  5. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D.AN是△ABC的外角∠MAC的平分线,过点C作CE∥AD,交AN于点E. (1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形?请说明理由. 6. 如图,平行四边形ABCD中,AB=6 cm,BC=10 cm,∠B=60°,点G是CD的中点,点E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF. (1)求证:四边形CEDF是平行四边形; (2)①直接写出:当AE=　　　　cm时,四边形CEDF是菱形(不需要说明理由);  ②当AE=　　　　cm时,四边形CEDF是矩形,请说明理由.  正方形专题 1. 如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一点,点F是CD延长线上的一点,且BE=DF,连接AE,AF,EF. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)若AE=5,请求出EF的长. 2.如图,四边形ABCD与四边形DEFG均为正方形,连接AG,CE,二