4.3.2等比数列的前n项和的性质及应用（第1课时）教案——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计 课题 等比数列的前n项和 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 《等比数列前n项和》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 本节教材的编排与《等差数列前n项和》类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。最后举例说明前n项和公式在解决问题中的应用。 教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 等比数列的前n项和公式 2逻辑推理：等比数列的前n项和公式的推导 3数学运算：等比数列的前n项和公式的应用 4数学建模：等比数列的前n项和公式 5数据分析：从“等比数列的通项公式”到“等比数列的前n项和”再到例题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性 重点 等比数列前n项和公式及其应用 难点 等比数列前n项和公式的推导 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 情景引入 以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生的学习兴趣、探究欲望。 发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 讲授新课 让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和. 等比数列前n项和公式推导—— “错位相减法” 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？ 设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ① 我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 ② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 ，即 . 因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式 （1） 因为 所以，公式（1）还可以写成 （2） 公式推导方法二 （结论同上） 公式推导方法三 当 当q=1时， 注： 1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)． 2．当q≠1时，若已知及q， 则用公式Sn＝较好； 若已知，则用公式Sn＝较好． 有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了. 由 ，q=2，n=64，可得 这个数很大，超过了 . 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言. 例7 已知数列是等比数列. （1）若， ， 求 ； （2）若 ， ， , 求 ； （3）若 ， ， ，求n . 解：（1）因为 ， ，所以 （2）由 ， ，可得 即 又由 ，得 ， 所以 . （3）把 ， ， 代入 ，得 整理，得 解得 n=5 . 例8 已知等比数列的首项为-1，前n项和为 . 若 ，求公比q . 解： 若q=1，则 ， 所以 . 当 时，由 ，得 整理，得 即 所以 . 例9 已知等比数列的公比 ，前n项和为. 证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 证明：当 时， ， ， ， 所以，，成等比数列，公比为1. 当 时， ， 所以 . 因为 为常数，所以，，成等比数列，公比为 . 课堂练习 1 判断下列计算是否正确 （1） （2） （3） 答：（1）错 （2）错 （3）错 5n 2 在等比数列中： （1）若，且q>0，求. （2）若 ，求和公比q. 解： （1）∵ 为等比数列且 ， ∴ ∴ ∴ . （2）①当时， 又 ∴ 即