4.3.2等比数列的前n项和的性质及应用（第2课时）课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和 的性质及应用 人教A版（2019） 选择性必修第二册 新知导入 温故知新 等比数列前n项和公式 已知量 求和公式 新知导入 思考 1. 类比等差数列，等比数列的前 n 项和 有什么函数特性？ 提示： 1. ①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论， 即 和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况. ② 当q=1时，是n的正比例函数. 当 时，等比数列的前n项和公式是 它可以变形为 设 ， 上式可写成 是一个指数式与一个常数的和， 且指数式的系数与常数项互为相反数. 其中 新知讲解 拓展 等比数列前n项和的性质 1 数列是等比数列 2 若等比数列的前n项和为，则 成等比数列 （其中均不为0，即当 q=-1,n为偶数时，上述性质不成立） 3 若等比数列的公比为q，则 等比数列的项数是偶数时， 等比数列的项数是奇数时， 合作探究 例10 如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析： 可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列. 合作探究 解： 设正方形ABCD的面积 ，后继各正方形的面积依次为，，，，，则 由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以 因此，是以25为首项， 为公比的等比数列. 设的前n项和为 . （1） 所以，当10个正方形的面积之和为 合作探究 （2）当n无限增大时，无限趋近于所有四方形的面积和 而 随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50 . 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 合作探究 例 11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 分析： 由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 合作探究 解： 设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则 当n=5时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 合作探究 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中 k, r为常数； （3）求 的值（精确到1）. 分析： （1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系； （2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组； （3）利用（2）的结论可得出解答. 合作探究 解： （1）由题意，得 ，并且 ① （2）将 化成 ② 比较①②的系数，可得 解这个方程组，得 所以，（1）中的递推公式可以化为 合作探究 （3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则 所以 课堂练习 1 在数列中，（c为非零常数）且前n项和，则实数k的取值是什么？ 提示： 由题知，是等比数列 ∴ 的系数与常数项互为相反数. 而 的系数为 ，∴ 合作探究 （同类巩固）  ① 若等比数列中，，则m=__ ② 已知等比数列的前n项和为，则 x 的值为 __ ③ 已知等比数列的前n项和为，则 a 的值为 __ -2 课堂练习 2 数列是首项为1，公比为2等比数列，其前n项和为，若，则k=__. 分析： 直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出结果. 解： 数列是首项为1，公比为2等比数列， 故 ，所以